神機妙算
計算平方根
有兩條線段，一條長度為a，另外一條長度為1。如圖所示。
現在請你畫一條直線x，使x的長度等於a的平方根。
［答案：如圖所示，畫三個直角三角形，x為三角形的高。
由此我們就得到了這三條直線的關係。
c2=a2+x2
b2=x2+1
（a+1）2=b2+c2
將前2個式子帶到第3個式子中，我們就得到了下麵的等式：
a2+2a+1=x2+1+a2+x2
a2+2a+1=a2+2x2+1
2a=2x2
a=x2
＝1］
0168之謎
將長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部的比等於另外一部分對於這部分的比。即x∶L=（L-x）∶x，這樣的分割稱為“黃金分割”，又叫“黃金律”、“中外比”。
解上述比例，可求得x/L=0168。
自古希臘始，人們就認為1∶0168這種比在造型藝術中具有美學價值，如在工藝美術和日常生活用品的長和寬的設計中運用這種比例易引起美感。我國著名數學家華羅庚運用“黃金分割”創造了優選法，對促進我國的現代化建設起了十分重要的作用。
黃金數
用代數解方程的知識可以求得中外比的比值。
設線段全長ＡＢ＝ａ，大段ＡＰ＝ｘ，則小段ＢＰ＝ａ－ｘ，
於是，a-xx=xa
即ｘ２＋ａｘ－ａ２＝０
x=-a±5a2
舍去負根，得x=5-12a
因此，xa=5-12
這就是說，中外比的比值為5-12
中外比的比值，叫做“黃金數”，用記號ｇ表示。請記住：
ｇ＝5-12。
由於5=2236……所以
ｇ＝０６１８。
黃金分割法
２０００多年前，古希臘的柏拉圖派學者歐多克斯，首先使用規尺分已知線段為“黃金分割”，他的作法如下：
１過Ｂ點，作ＢＣ⊥ＡＢ，而且使ＢＣ＝12ＡＢ；
２連ＡＣ；
３以Ｃ為圓心，ＣＢ為半徑作圓弧，交ＡＣ於Ｄ；
４以Ａ為圓心，ＡＤ為半徑作圓弧交線段ＡＢ於Ｐ，則Ｐ點分ＡＢ成黃金分割。
這個作法十分簡便，證明也很容易。
設ＡＢ＝ａ，則ＢＣ＝a2，由勾股定理可知：
AC=AB2+BC2=a2+(a2)=52a；
AD=AC-DC=52a-a2=5-12a；
AP=AD=5-12a。
這就證明了，Ｐ點分ＡＢ成黃金分割。
這個作圖方法，叫做“黃金分割法”，Ｐ點為“黃金分割點”。
輾轉分割
設點Ｐ１將線段ＡＢ分成黃金分割，即
ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ；
取ＡＢ中點Ｏ，作點Ｐ１關於點Ｏ的對稱點Ｐ２，則點Ｐ２有下述重要性質：
１．點Ｐ２也將線段ＡＢ分成黃金分割。
這是因為：
ＡＰ２＝ＢＰ１，ＢＰ２＝ＡＰ１，
ＡＰ２∶ＢＰ２＝ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，
所以點Ｐ２也分ＡＢ成黃金分割
由此可知，每條線段有兩個黃金分割點。
２．點Ｐ２還分線段ＡＰ１成黃金分割。
證明如下：由於ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，而ＡＰ２＝ＢＰ１，
所以ＡＰ２∶ＡＰ１＝ｇ，這就說明Ｐ２分ＡＰ１成黃金分割。
３．作Ｐ２，關於線段ＡＰ１中點的對稱點Ｐ３，則ＡＰ３將ＡＰ２黃金分割。如此繼續利用對稱，輾轉相割，可以得到一係列的黃金分割點。
黃金矩形
國外，有位畫家舉辦過一次畫展，所有的畫麵都是不同比例的矩形，有的狹長，有的正方。據統計數字表明，觀眾最喜愛的寬與長之比為ｇ的矩形畫麵。人們稱這種矩形為“黃金矩形”。
黃金矩形有個奇特的性質，如果矩形ＡＢＣＤ是黃金矩形，即ＤＡ∶ＡＢ＝ｇ，在它的內部截去一個正黃金矩形。這個過程繼續下去，還可以得到一係列的黃金矩形。這個美妙的結論，請你自己證明吧。
神秘的“5”
“５”這個數，在日常生活中到處可見，鈔票麵值有５元、５角、５分；秤杆上，表示５的地方刻有一顆星；在算盤上，一粒上珠代表５；正常情況下，人的每隻手有５個手指，每隻腳有５個腳趾；不少的花，如梅花、桃花都有５個花瓣；海洋中的一種色彩斑斕的無脊椎動物海星，它的肢體有５個分叉，呈五角星狀。
總之，“５”這個數無所不在。當然數學本身不能沒有它。
在數學上，隻有５種正多麵體——正四麵體、正六麵體（立方體）、正八麵體、正十二麵體與正二十麵體。５階以下的有限群一定是可交換群；一般的二次、三次和四次代數方程都可以用根式求解，但一般的五次方程就無法用根式來求解。５還是一個素數，５和它前麵的一個素數３相差２，這種差２的素數在數論中有個專門名詞叫孿生素數。人們猜測孿生素數可能有無窮多，而３和５則是最小的一對孿生素數。
前些年，美國數學家馬丁·加德納曾描述過一個有趣的人物——矩陣博士。
這位博士是個美國人，他的妻子是日本人，但早已亡故，隻留下一個混血種的女兒伊娃。他們父女二人相依為命，博士常帶著女兒漂洋過海，闖蕩江湖，在世界各地都有他們的足跡。
博士對數論、抽象代數有許多精辟之見。雖然他說的話乍一聽似乎荒誕不經，可拿事實去驗證他所說的離奇現象與規律時，卻又發現博士的“預言”都是正確的。
有一次，博士來到印度的加爾各答。他說古道今，大談“無所不在的５”。
博士指出，在印度的寺廟裏，供奉著許多降魔金剛，信仰這些金剛的教派之中心教義一共有５條，其中一條是所謂宇宙的永劫輪回說，即認為宇宙經過５百億年的不斷膨脹後，又要經過５百億年的不斷收縮，直到變成一個黑洞，然後又開始下一輪的膨脹與收縮。如此周而複始，循環不已。降魔金剛手中，還拿著宇宙膨脹初期的“原始火球”呢！在這裏，博士曾幾次提到５這個數字。
向克斯曾把π的小數值算到７０７位，以前這被認為是一項了不起的工作。自從近代電子計算機發明以後，他的工作簡直不算一回事了。現在π值的記錄一再被打破，最新的記錄是１００萬位，這是由法國人計算出來的。有意思的是，矩陣博士在這項計算以前，就作了大膽的預言，他說第１００萬位數必定是個５，結果真是如此！這究竟是用什麼辦法知道的呢？博士卻秘而不宣。
循環往複的周期現象，在科技史上曾起過重大作用，門捷列夫發現元素周期表，就是突出的一例。下麵請讀者來看一下與５有關的有趣現象。
請任選兩個非０的實數，如π與７６，並準備一個袖珍電子計算器。假定計算器數字長八位，那麼，π的八位數值是３１４１５９２６。現在請把第二數７６加上１作為被除數，把第一個數π作為除數做一下除法，即：
（７６＋１）÷３１４１５９２６＝２４５０９８６１
我們把顯示在計算器上的２４５０９８６１稱為第三數，然後再重複上述過程，把第三數加上１，把第二數作為除數，這就得到了第四位數：０３３５６５６，依次類推，可得到第五數、第六數……
也許讀者會認為，這些數字都沒有規律可循，照這樣下去，真是“味同嚼蠟”。然而，當算到第六數時，你將會大吃一驚，原來第六數是３１４１５９３１，略去這一數字後麵二位因計算時四舍五入造成差異的小數，它竟和第一數的π相等，π又回來了！如果你還不太相信，不妨再挑選一些整數，結果保證令人滿意。我們可以得出結論，５是一個循環周期，第六數與第一數完全一樣，第七數與第二數完全一樣……要知道，這一個秘密最初也是矩陣博士想到的呢！
我們且不去計較矩陣博士是否真有其人，可是這神奇的、無所不在的５，卻不能不引起人們的極大興趣，引誘人們去探索和研究。
分糖
一堆糖，5個人分，第一個人把它分成5份，多了一個，把那個吃了，自己收起來一份。第二個人又把剩下的分成5份，又多一個，又把它吃了，自己又收起來一份。他們5個人都做了同樣的事，到最後大家把剩下的糖拿來分，分成5份，剛好又多了一個出來。
同學們你知道那堆糖，最少有多少顆嗎？
［答案：最少15621顆。
分析：從最後算起，假設最後每人平均X顆，那麼第五個人收起來一份後應是5X+1，第四個人收起一份後（即第五個人收起一份之前）是（5X+1）5÷4+1，以此類推，第一個人收起一份之前（即最開始）是（15625X+11529）÷1024顆，通過簡單計算知X最小值是1023，所以這堆糖最少有15621顆。同學們，你們算對了嗎？］
最大的質數是多少
小朋友們，你們在學校學習數學吧，有沒有覺得數學很有趣呢？也許數學學起來有點難，但是很有用哦，比如說，學好了數學，你們陪爸爸媽媽到超市買東西的時候，就可以幫他們算價錢，看看怎樣買更便宜，能替爸爸媽媽省下不少錢啦！
在學校裏，數學老師會教小朋友們學習許多數學知識，知道自然數就是像1、2、3……這樣的能數出來的數。那麼質數是什麼呢？質數是一類特殊的自然數，它們隻能被自己和1整除。比如說，最小的質數是2，隻能被它自己，也就是2，和1整除。接著有3、5、7、11等等，很多很多，小朋友們可以問一下爸爸媽媽或者你們的數學老師，他們會告訴你們的。
質數是一類很有意思的自然數，所以許多數學家都很喜歡研究它們。早在2500年前，古希臘有位著名的數學家歐幾裏得就仔細研究了質數。他證明質數是有無限多的，也可以無限大的，並且有些的質數可以是2n-1。看到這裏，小朋友們一定很疑惑了，究竟這個2n-1是什麼意思呢？小朋友們看到2的右上角有一個n對吧？這個拚音字母n可以代替任何的自然數，可以是1、2、5、12、38、59、104等等，隨便你能數出來的任何一個。2n的意思就是有n個2相乘。比如說22就是2個2相乘，是4；23就是3個2相乘，就是2×2×2，是多少呢，對了，是8；算個難一點的，25是多少呢？就是2×2×2×2×2=？背過九九表的小朋友也一定能算出來是32。這樣的話，就不難理解2n-1了，是n個2相乘之後再減1。比如2n-1裏n代替2的時候，22-1等於3；n代替3的時候，23-1等於7，3和7都是質數。有興趣的小朋友可以耐心算一算，看看是不是。