接下來的這個悖論似乎更簡單了。有人把它歸入數學中對策論的研究範疇。
一位美國數學家來到一個賭場，隨便叫住兩個賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法。方法是，兩個人把身上的錢都掏出采，數一數，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢。賭徒甲想，如果我身上的錢比對方多，我就會輸掉這些錢，但是，如果對方的錢比我多，我就會贏得多於我帶的錢數的錢，所以我贏的肯定要比輸的多。而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試。賭徒乙的想法與甲不謀而合。於是兩個人都愉快地接受了這位數學家的建議。看來這真是一種生財有道的賭博。
現在的問題是，一場賭博怎麼會對雙方都有利呢?這像不像一場機會均等的猜硬幣正反麵的遊戲，輸了隻付1元，而贏了則收2元呢?據說這是個一直讓數學家和邏輯學家頭疼的問題。《科學美國人》雜誌社一直在征求這個問題的答案呢。其實隻要認真分析一下，對這個問題也不難給出有說服力的解釋。
讓我們再來看一個邏輯學的悖論吧。一位數學教授告訴學生，考試將在下周內某一天進行，具體在星期幾呢?隻有到了考試那天才知道，這是預先料不到的。學生們都有較強的邏輯推理能力，他們想，按教授的說法，不會是星期五考試，因為如果到了星期四還沒有考試，那教授說的“隻有到了考試那天才知道，這是預先料不到的”這句話就是錯的。因此星期五考試可以排除。那就隻可能在星期一到星期四考。既然這樣，星期四也不可能考，因為到了星期三還沒有考試的話，就隻能是星期四了，這樣的話，也不會是預料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試。學生們推出結論後都很高興，教授的話已經導出矛盾了，輕輕鬆鬆地過吧。結果到了下周的星期二，教授宣布考試，學生們都愣住了，怎麼嚴格的推理失效了呢?教授確實兌現了自己說的話，誰也沒有能預料到考試的時間。現在請你想一想，學生們的推理究竟錯在哪裏呢?
關於運動的悖論有很悠久的曆史，這裏介紹的“螞蟻與橡皮繩悖論”是一道讓你的直覺經受考驗的數學趣題。問題是這樣的：一隻螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行。每過1秒鍾，橡皮繩就拉長100米，比如10秒後，橡皮繩就伸長為1000米了。當然，這個問題是純數學化的，既假定橡皮繩可任意拉長，並且拉伸是均勻的。
螞蟻也會不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動。現在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端?
也許你會認為，螞蟻爬行的那點可憐的路程遠遠趕不上橡皮繩成萬倍的不斷拉長，隻怕是離終點越來越遠吧!但是千真萬確，螞蟻爬到了終點，奇怪嗎?
三人行必有我師
許多同學都聽說過“三人行必有我師”這句話，這句話出自《論語》，說的是古代一位大學者孔子，雖然他的學問很高，但仍然很謙虛，自稱與任意兩人（加上自己共三人）同行，則他們中間一定有一個可以做自己的老師。這句話是孔子的一句自謙的話，那麼實際情況又是怎樣呢？
要說清這個問題，首先要說明並不是各方麵都要比別人優秀才可以做“師”，如果一個人在某一方麵比另一人更優秀，那麼在這方麵他就可以做另一人的老師。孔子說這句話的意思也正是如此。
假如我們把一個人的才能分成德智體三個方麵，如果在這三個方麵孔子都是最好的，或說在三人中排名第一，那麼另兩人中就沒有人可以做他的老師了。孔子在德智體三方麵的排名有以下33＝27種可能
德：1111111112222222223…
智：1112223331112223331…
體：1231231231231231231…
這27種可能中，孔子在三方麵都排第一的隻有一種，占1／27，而有某一方麵或幾方麵不是排名第一的有26種可能，占26／27，也即另兩人中有人可以做孔子的老師的可能性（概率）為26/27≈963％。
這個可能性還有另一種計算方法。孔子在德方麵排名第一的可能性是1/3；而在1/3的可能性中，他同時在智方麵也排名第一的可能性又隻有1/3，因此他在德和智兩方麵都排名第一的可能性是13×13＝19。再計算下去可知，孔子在德智體三方麵都排名第一的可能性是13×13×13＝(13)3＝127。當然，我們把一個人的才能分成德智體三個方麵顯得太粗略了，俗話說“三百六十行，行行出狀元”，我們不妨也把人的才能分成360個方麵。另外，孔子是一個大學問家，任意三個人中，他在某一方麵排名第一的可能性也不止1/3。我們假設孔子在每一行的排名都處在前1％以內，換句話說，任意一個人在任一方麵排名超過他的可能性隻有1％，而排名低於他的可能性為99％。我們再來計算一下“三人行，必有我師”的可能性。在任一行中，另外兩個人排名均不超過孔子的可能性是99%×99%＝9801%，而在360行中，另外兩人的排名均不超過孔子的可能性為（9801%）360≈007%。反過來說，另外兩人中有人在某一行的排名超過孔子的可能性為1－（9801％）360≈9993％，兩人中有人可以在某一方麵做孔子的老師的可能性約為9993％。
從上麵兩個例子我們知道，“三人行，必有我師”雖然是孔子自謙的一句話，但從實際情況來看，這句話是很有道理的。
音樂中的數學
我們知道聲音是靠振動產生的，音調的高低是由振動的頻率決定的。
一首優美的樂曲是由許許多多互相“協調”的音按一定的時值、力度同時或先後發出的。音的“協調”是人類心理上的感覺，但人們很早就發現，它有切實的物質基礎，或者說有數學解釋：當兩個或多個音（振動）的頻率成簡單的整數比時，它們是“協調”的。最簡單的整數比當然是1∶2。
在音樂上如果兩個音的頻率比成1∶2，頻率較高的那個音就是頻率較低那個音的高八度同名音。
例如，“1”（do）音的振動頻率加倍，就得到“1·”音。2∶3的簡單性僅次於1∶2，“1”音振動頻率的32倍得到“1”上方純五度的“5”音……從這樣的角度考慮問題，人類發明了音樂上的“純律”七聲音階。
下表列出“純律”七聲音階中各音的頻率（假定“1”的頻率為520赫茲，頻率全部隻取整數）以及各音與“1”的頻率比：
音階12345671頻率5205856506937808679751040與“1”的頻率比189544332531582由上表還可以得出音樂中最常用的兩種三和弦（三個音組成的和弦）的頻率比：雄渾、明朗的大三和弦（如1－3－5和4－6－）三個音的頻率比為4∶5∶6；優美、深沉的小三和弦（如6－1－3和3－5－7）三個音的頻率比為10∶12∶15。這兩類三和弦中三個音組成簡單的整數比，所以非常和諧。
“純律”七聲音階的發明可以追溯到公元前1200年我國的周武王時代。我國後來又發明了非常簡便易行的計算音階頻率的方法——“三分損益法”，被後人譽為音樂史上的驚人發現。“三分損益法”是這樣計算頻率的：設弦的全長的發音是“1”，棄去弦長的13（即“三分損一”），剩下23，頻率變成“1”的32，這是“5”音的頻率；以“5”為基礎，弦長增加13（即“三分益一”）而成為“5”音弦長的43，頻率變成“5”音的34，得到“2”音，它的頻率是“1”音的32×34＝98；再“三分損一”得“6”，“三分益一”得“3”……如此交替“損”“益”下去，得到全部七音。這樣得到的七音頻率的誤差與“純律”七聲音階的頻率誤差在25％之內。
“純律”七聲音階雖然非常好地解決了音的“協調”問題，但卻不能解決轉調問題，因為轉調後出現的另外一組音階的某些音的頻率與原調音階中音高相近的音的頻率之間存在微小的差別。為了解決轉調問題，又能基本保持“純律”七聲音階的各音的頻率，人們又發明了“十二平均律”，即把一個八度音程平均地分成十二個相等的半音，得到半音音階1、＃1、2、＃2、3、＃3、4、＃4、5、＃5、6、b7、7（記號“＃”稱為“升號”，表示音調升高半音；記號“b”稱為“降號”，表示音調降低半音。當然，＃1＝b2，以此類推）。這裏講的“平均”是幾何平均，即每一個音的頻率和它前麵一個音的頻率之比都相等。我們很容易算出這個頻率比應為122≈1059463。下表將按“純律”和“十二平均律”算出的七聲音階的頻率做一對比，可以看出其誤差都在08％之內：
音階12345671·“純律”頻率5205856506937808679751040十二平均律頻率5205846556947798749821040鋼琴、豎琴等樂器都是按照十二平均律設定音高的，而銅管樂器則是按照“純律”設定音高的。由於兩者之間的誤差甚小，這些樂器在樂隊中都能和平共處，演奏出美妙的樂曲。