奇怪的是，“3紅3白”的情況特別的多，也許摸個一、兩次，能撞個大運，摸個“4紅2白”或者“4白2紅”，贏下寥寥幾元錢，但如果連摸五次以上，幾乎是必“賠”的。一天下來，最為得意的當然是那個擺攤者。
有些賠錢的人肯定會有這種疑問：“為什麼摸出來的6個球，總是3紅3白呢？是不是這個擺攤的人有點特異功能，施了魔法呢？”
當然不是。這是數學中的“概率”所左右的結果。
大家都知道，根據排列組合的知識，從12個球中摸出6個球，總的方法數為：
其中“6紅”或者“6白”的情況，都僅有唯一的1種，按照概率論計算，就是1/924的出現概率，真是太低了，在概率論中可以算作“實際上不可能發生”的小概率事件。
容易計算出“5紅1白”或者“5白1紅”的情況各是：
兩種情況加起來就是72種，也就是出現總概率為72/924＝6/77，還不到1/11，也夠低的。所以這兩種情況也難得出現。
出現“4紅2白”或者“4白2紅”的情況各是：
兩種情況加起來就是450種，也就是出現總概率為450/924＝75/154，將近1/2，也就是有一半的可能性。不過這兩種情況每次都隻能贏回1元錢。
最後我們來看看“3紅3白”的情況：
所以，摸到“3紅3白”的概率，就是400/924＝100/231，雖然比上麵那兩種情況的可能性稍低，但也是將近一半的可能性。尤其一旦摸到“3紅3白”，一次就會損失掉3元錢。
根據上麵的分析，我們可以得到如下結論：最有可能出現的三種情況是“3紅3白”“4紅2白”和“4白2紅”，而且出現“3紅3白”的概率接近1/2，出現“4紅2白”和“4白2紅”的概率都接近1/4。
也就是說，一般來講，如果誌願者摸了四回，往往其中的兩回都是“3紅3白”（共賠6元），另外各有一次是“4紅2白”和“4白2紅”（共賺2元）。算下總賬，4次摸球的結果，一般要賠進4元錢。
看來，參與摸球的人多半是會賠本的，而且摸的次數越多，賠出的錢也就越多。
看來，這位擺攤者巧妙地利用了概率論，成為不變的贏家。以後再遇到這種人，大家可千萬不要上當啊！
對數的創立
對數是中學初等數學中的重要內容，那麼當初是誰首創“對數”這種高級運算的呢？在數學史上，一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾（1550-1617年）男爵。
在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數字”，因此浪費了若幹年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。
當然，納皮爾所發明的對數，在形式上與現代數學中的對數理論並不完全一樣。在納皮爾那個時代，“指數”這個概念還尚未形成，因此納皮爾並不是像現行代數課本中那樣，通過指數來引出對數，而是通過研究直線運動得出對數概念的。
那麼，當時納皮爾所發明的對數運算，是怎麼一回事呢？在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分複雜的運算，因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下麵這個例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384……
這兩行數字之間的關係是極為明確的：第一行表示2的指數，第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第一行對應數字的加和來實現。
比如，計算64256的值，就可以先查詢第一行的對應數字：64對應6，256對應8；然後再把第一行中的對應數字加和起來：6＋8＝14；第一行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64256＝16384。
納皮爾的這種計算方法，實際上已經完全是現代數學中“對數運算”的思想了。回憶一下，我們在中學學習“運用對數簡化計算”的時候，采用的不正是這種思路嗎：計算兩個複雜數的乘積，先查《常用對數表》，找到這兩個複雜數的常用對數，再把這兩個常用對數值相加，再通過《常用對數的反對數表》查出加和值的反對數值，就是原先那兩個複雜數的乘積了。這種“化乘除為加減”，從而達到簡化計算的思路，不正是對數運算的明顯特征嗎？
經過多年的探索，納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》，向世人公布了他的這項發明，並且解釋了這項發明的特點。
所以，納皮爾是當之無愧的“對數締造者”，理應在數學史上享有這份殊榮。偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數學發明。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾說：對數，可以縮短計算時間，“在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍”。
大戰食數獸
一天數學王國突然闖進一個三條腿怪獸，嚇得數字公民紛紛逃走。怪獸張開血盆大口，一口吞下數24。接著它又吞吃了另一個數44。奇怪的是，怪獸卻沒有吃數5。
數學王國最高統治者零國王連夜和數1大臣商量對策。數14首先迎戰怪獸。怪獸力大無比，數14被摔昏過去。數6和數35舉起弓箭，連連發射，可是一點也傷不著怪獸。數100挺槍衝向怪獸。怪獸張開大嘴，一口吃了數100，嚇得數6、數35扶起數14趕緊逃竄。
第二天，聰明的數1大臣想出了一個法子，派數60去迎戰怪獸。數60見怪獸衝了過來倒地一滾，變成了數2和數30，因為2×30＝60。怪獸一見掉頭跑了。數60連忙又變成數12和數5，因為12×5＝60。怪獸見狀掉轉頭又衝了過來。這時偵探數7回來報告說：“怪獸名叫食數獸。為了長出第4條腿，它專吃含因數4的數。”
零國王和數1大臣連夜商量對策，第二天，零國王親自出戰與怪獸大戰起來。
怪獸吞下零國王，倒地就死了。不一會兒，零國王領著幾個數字公民全走了出來。
原來零國王鑽進怪獸肚子裏，和這三個數作了連乘，結果都變成了0，怪獸就餓死了。眾人聽了，齊聲稱讚零國王既勇敢又聰明。
高利貸者破產
阿凡提來到一個集市，正好遇見一個高利貸者在叫喊，“放金幣嘍！放金幣嘍！我的金幣可是個寶，隻要你把它埋在地裏一天一夜，就會變成1000金幣。”
“我借一個金幣！”阿凡提決心懲罰這個愚弄百姓、貪得無厭的家夥，為民除害。“那你每天得還我1000個金幣。”
“好，一言為定。我將連續15天借金幣，第1天借1個金幣，以後每天都是前一天的2倍。15天以後我還給你金幣，如果這15天之內，你後悔了，那麼我結的金幣就不能還給你了。”高利貸者一算計，立即眉開眼笑，一口答應。
不到15天，這個貪得無厭的高利貸者破產了。
小朋友，你知道他是怎樣破產的？他賠了多少金幣？阿凡提15天向他借的金幣的個數依次是：1、2、4、8、16、32、64……這樣，阿凡提借的金幣一共是：1＋2＋4＋8＋…＋16384＝32767（個）
阿凡提15天應該還給他的金幣是：1000×15＝15000（個）這樣，高利貸者賠了17767個金幣。
計算黃浦江的寬度
黃浦江是上海水路運輸的重要河道。為了適應黃浦江兩岸交通運輸日益繁忙的需要，70年代以來，特別是改革開放以來，黃浦江下建起了幾條隧道，江上架起了南浦、楊浦、徐浦等大橋。修隧道也好，造大橋也好，都要計算黃浦江有多寬。那麼，如何比較精確地測量並計算出黃浦江的寬度呢?
假設要計算從A點到B點的距離，怎麼算呢?
先在B岸選一點C，使A、B、C三點組成一個三角形，設B、C兩點都在浦東岸邊，那麼，BC的長度就可以直接測量出來，如測量得BC=52112米；∠A和∠C也可以用精密的經緯儀比較精確地測出來，如測得
∠A=45°16′42″,∠C=46°43′12″。
在三角形ABC中，∠A、∠C、BC都測量出來，利用正弦定理就能計算出AB的長度。
由正弦定理sin∠CAB=sin∠ABC，
所以AB=sin∠Csin∠A×BC
=sin46°43′12″sin45°16′42″×52112
≈072801211071053343×52112
≈10246×52112
≈53394(米)。
這樣測量計算所得到的黃浦江的寬度是比較精確的，其誤差一般在3厘米之內。
怎樣估計池塘裏的魚數
在日常生活中，常常需要估計農作物等的產量，例如估計水稻的畝產等。常用的辦法是先收割一小部分，如1分地(1畝=10分)的作物，測量出產量再乘以10，即得1畝地的產量。為了盡量減少誤差，也常分不同地塊收割幾小部分的作物，測出產量後求平均值，再用平均值去估計總的畝產量。