蜜蜂的“語言”
語言和文字是人類交流思想的工具。聾啞人無法說話，隻有用“手語”來代替。動物沒有語言和文字，也隻有用姿勢和叫聲來表達自己的感情。
蜜蜂是一種群居的昆蟲，它有共同利用蜜源的習性。在探蜜和采蜜的過程中，需要傳遞信息。在千萬年的實踐中，蜜蜂創造了自己的“語言”。
蜜蜂在采集蜂蜜前，先得派出少數“偵察兵”去尋找開花泌蜜的植物群。當“偵察兵”發現花叢後，它得向群蜂表明花叢在何方？距離蜂巢有多遠？不了解這些信息，群蜂是無法去采集的。於是，“偵察兵”們就以“舞蹈”的動作來表示食物所在的地方和距離，並引導蜂群前去采集。
在中學所學的坐標係中，除了直角坐標係以外，還有一種極坐標係。那就是先在平麵上確定一條射線OX，這條線叫做極軸。如果平麵上一點P與O點連線OP與極軸OX的夾角為α，且P點到O點的距離為ρ，那麼我們就用（ρ，α）來表示P點的極坐標。這就告訴我們，隻要知道某一個角度和距離，就可以確定某一點的位置。蜜蜂本能地運用極坐標的原理，通過舞蹈的動作，巧妙地表達出花叢與蜂巢的距離和方位。
蜜蜂跳的一種“8字形舞”不僅表示距離，而且還指明方向。在一定時間內“8字形舞”的圈數和腹部擺動的次數，就表示蜂巢到花叢的距離。如果以15秒鍾作為計時單位，花叢距蜂巢越遠，蜜蜂舞蹈的圓圈數就越少，直線爬行的時間就比較長，腹部擺動的次數就比較多。下表是在15秒鍾內蜜蜂舞蹈的圈數和腹部擺動的次數以及蜂巢與花叢的距離表：
隻知道距離是不夠的蜜蜂在舞蹈時還利用太陽的角度來指示方向。“太陽角”就是以蜂巢為角的頂點，它相當於極坐標中的O點；向太陽方向的射線相當於極軸OX；向花叢方向的射線相當於OP。這時太陽方向與花叢方向就構成一個角（相當於α），這個角就標誌著花叢的方向。
如果蜜蜂在舞蹈時，頭朝上，從下往上跑直線，這就是說要向著太陽這個方向飛才能找到花叢，按照上述傳遞信息的方法，蜜蜂就可以根據指定的方向和距離，順利地找到花叢。
花磚鋪設問題
隨著人們生活水平的提高，許多人喜歡用裝飾用的花磚來鋪設地麵，這在數學裏是一門學問，叫做平麵花磚鋪設問題，也叫做鑲嵌圖案問題，即采用單一閉合圖形拚合在一起來覆蓋一個平麵，而圖形間沒有空隙，也沒有重疊。什麼樣的圖形能夠滿足這樣的條件？
我們先來研究正多邊形。先看看正方形，這是大家熟悉的圖形。很明顯，正方形是可以覆蓋一個平麵的。
再來看看正三角形，正三角形也是可以覆蓋一個平麵的。
正六邊形也是可以覆蓋一個平麵，這不僅早在古希臘時就為人們所確認，而且昆蟲中的蜜蜂就是用正六邊形來建造蜂巢的。
為什麼正方形、正三角形、正六邊形能夠覆蓋一個平麵？因為過每一個正方形公共頂點的正方形有四個，每個正方形的每個內角為90°。
4個90°正好是360°。過每一個正三角形頂點可安排六個正三角形，每個內角60°，共為360°。同樣，過每個正六邊形頂點有三個正六邊形，每個內角為120°，三個內角正好為360°，由此可知，要使正多邊形能覆蓋平麵，必須要求這個正多邊形的內角度數能整除360°。
正五邊形的每一個內角為108°，108°不能整除360°，所以正五邊形不能覆蓋平麵，不難看出，超出六邊的正多邊形的每一個內角大於120°，小於180°，都不能整除360°，因此，都不可能覆蓋平麵。這樣看來，能覆蓋平麵的正多邊形隻有正方形、正三角形、正六邊形三種。
現在，我們來看看不規則的多邊形能不能覆蓋平麵。事實上，任何不規則的三角形和四邊形都可以覆蓋一個平麵。
那麼，其他怎樣的凸多邊形才能覆蓋平麵呢？1918年，法蘭克福大學一位研究生卡爾·萊因哈特曾研究過這個問題。後來發表了論文，確定五種可以拚成平麵的凸多邊形。例如，他提出如果五邊形ABCDE的各邊分別為a、b、c、d、e，且c、e兩邊所對的角C、E滿足C＋E＝180°，又a＝c，那麼這個五邊形就能覆蓋平麵。
1975年，美國人馬丁·加德納在《科學美國人》這本雜誌上開辟了關於鑲嵌圖案的數學遊戲專欄，許多數學家和業餘數學愛好者都參加了討論。其中有一位名叫瑪喬裏·賴斯的家庭婦女是最熱情的參與者之一。
賴斯是五個孩子的媽媽，1939年中學畢業前隻學過一點簡單的數學，沒有受過正規的數學專業教育。她除了研究正多邊形的拚鑲問題以外，還研究了一般五邊形。她獨立地發現了一種五邊形，並且向加德納報告了這一發現：“我認為兩條邊長為黃金分割的一種封閉五邊形可以構成令人滿意的布局。”加德納充分肯定了賴斯的研究成果，並把她介紹給一位對數學與藝術的和諧具有職業興趣的數學家多裏斯·沙特斯奈德。在沙特斯奈德的鼓勵下，賴斯又發現了解決拚鑲問題的另外幾種五邊形，而使這樣的五邊形達到13種。
賴斯的家務很忙，但這沒有影響她研究的熱情。她對人說：“在繁忙的聖誕節，家務占據了我大量的時間，但隻要一有空，我便去研究拚鑲問題。沒人時，我就在廚房灶台上畫起圖案來。一有人來，我就急忙地把圖案蓋上。因為我不願意讓別人知道我在研究什麼。”
找零錢
一家手杖店來了一個顧客，買了30元一根的手杖。他拿出一張50元的票子，要求找錢。
店裏正巧沒有零錢，店主到鄰居處把50元的票子換成零錢，給了顧客20元的找頭。
顧客剛走，鄰居慌慌張張地奔來，說這張50元的票子是假的。店主不得已向鄰居賠償了50元。隨後出門去追那個顧客，並把他抓住說：“你這個騙子，我賠給鄰居50元，又給你找頭20元，你又拿走了一根手杖，你得賠償我100元的損失。”
這個顧客卻說：“一根手杖的費用就是鄰居給你換零錢時你留下的30元，因此我隻拿了你70元。”
請你計算一下，手杖店真正的損失是多少？這裏要補充一下，手杖的成本是20元。如果這個顧客行騙成功，那麼共騙得了多少錢？
唐僧取經
一天，唐僧想考考三個徒弟的數學水平，於是他把徒弟們叫到麵前，說：“徒兒們，現在我在地上寫3個數，你們誰能準確讀出來，我就把真經傳給他。”
唐僧首先寫出：23456。豬八戒迫不及待地說：“這個讀二三四五六！”唐僧搖了搖頭，說：“八戒，多位數的讀法是有規律的。每個數字從右到左依次為個位、十位、百位、千位和萬位。隻要從左到右把每個數字讀出來，並在後麵加上萬、千、百、十就可以了，隻是需要注意，最後一個數字不要讀‘個’。所以，23456讀作二萬三千四百五十六。”
唐僧又寫出：130567。孫悟空馬上說：“這太容易了，讀作十三萬零千五百六十七。”唐僧又搖了搖頭，說：“遇到0，要特別注意，當一串數中間有0時，隻要讀零就可以了，它後麵的數位不要讀出來。所以這個數應該讀作十三萬零五百六十七。”
第三個數是120034。沙和尚想了想說：“應該讀作十二萬零零三十四。”唐僧歎了口氣，說：“如果一串數中有連續的幾個零，讀一個就可以了。所以這個數要讀成十二萬零三十四。徒兒們，你們的數學都學得不太好，還得繼續努力呀，真經暫時不能傳給你們呀！”
數字兄弟
有一天，數字0和5倆兄弟一起出去玩。
0弟弟說：“咱們一起拍張合影吧？”
5哥哥說：“好啊。”
“+”號聽到了，說：“我來幫你們拍照！”
於是，它們便忙了起來，“+”號把它們按不同的位置拍了兩張，就送到“=”號彩印衝洗店。
照片洗出來後，“＝”號伸手向0和5要錢，它們倆呆呆地望著對方，自言自語說給多少呢？
“=”號得意地說：“50唄，你看你們倆“5”在前，“0”在後站在一起不就是50嗎？”
0和5想了想說：“那要“0”在前，“5”在後站在一起是05，那給多少錢啊？”
這時“+”號走了過來，“=”號老弟你錯了，任何數和0相加都等於任何數，不存在位置關係，所以5+0、0+5都等於5，你應該收它們5元錢才對呀！”
小朋友，你明白了嗎？
“摸球遊戲”與概率論
大約十年前，在北京西直門立交橋附近，曾有一個擺攤摸球的人。當時圍觀的人們覺得很新鮮，曾有很多人參與摸球。現在看來，這不過是一個小型的賭博遊戲罷了。
這個遊戲的規則很簡單：他先擺出了12個台球一般大小的小球，其中有6個紅色球和6個白色球。當著觀眾的麵，他把所有12個色球裝進一個普通的布袋中，然後慫恿大家來摸。怎麼個摸法呢？就是從這個裝有12個球的布袋中，隨便摸出6個球來，看看其中有幾個是紅球，有幾個是白球。當然，摸球者隻能把手伸進袋口中把球一個一個地“掏出來”，而不能打開袋口看著摸。
這位擺攤的人，還設立了各種情況下的獎勵方案，大致是這樣的：如果誰有幸摸出了“6個紅球”或者“6個白球”，那麼摸者可以得到3元錢的獎勵；如果摸出的是“5紅1白”或者“5白1紅”，那麼摸者可以得到2元錢的獎勵；如果摸出的是“4紅2白”或者“4白2紅”，那麼摸者可以得到1元錢的獎勵；但如果摸出的是“3紅3白”，對不起，摸球者必須付給擺攤者3元。
當時的圍觀者甚眾。乍一看來，在可能出現的所有7種情況中，竟然有6種可以得到獎勵，隻有唯一一種情況要“挨罰”，很多人便欣然參與。