聰明猜猜看
批注之謎
我們知道，x+y=z是一個三元一次不定方程，它的正整數解有無窮多個。x2+y2=z2是一個三元二次不定方程，它的正整數解也有無窮多個。
在初中平麵幾何中學過勾股定理，根據這個定理，直角三角形三條邊的長就滿足這個方程。人們必然要問：x3+y3=z3、x4+y4=z4有沒有正整數解呢？一般地說來，xn+yn=zn（n是大於2的整數）有沒有正整數解呢？最早提出這個問題的是法國數學家費爾馬（1601～1665）。
公元1637年，費爾馬經過反複研究，提出了如下的結論：對於方程xn+yn=zn，其中n是大於2的整數，不存在正整數解。這個結論被人們稱為“費爾馬大定理”。之所以稱為“定理”，是因為當時費爾馬聲稱，他已能證明這個結論。他在一本書的空白之處以批注的形式寫道：“我已經找到了這個令人驚異的證明，但是書頁太窄了，無法把它寫出來。”可是，人們此後找遍費爾馬的著作，並未能找到批注中所講的“證明”。
為了解開這個批注之謎，數學家和業餘數學愛好者紛紛開展了對這一問題的研究。可是，問題研究了一百多年都沒有能夠解決。公元1850年、1853年，法蘭西科學院兩度以二千法郎的獎金懸賞征解，但都失望了。1908年，德國哥廷根科學院又以十萬馬克巨金懸賞，征求費爾馬大定理的“謎底”。
科學發現的榮譽，高額的懸賞，引得大批業餘數學愛好者對這一問題進行研究，不少人還聲稱得到了“證明”，但經過權威數學家的“審查”，這些“證明”均一一被否定。哥廷根科學院不堪審稿的煩擾，一方麵把獎金降為七萬五千馬克，另一方麵又以僅接受公開發表的文章為由，打發了一大批“證明”者。但這樣做的結果又產生了副作用：社會上又出現了成千種公開發行的所謂“費爾馬大定理證明”的小冊子，以及上萬篇同樣性質的文章。當然，這隻是“費爾馬大定理”證明曆史長河中的一股支流，應該充分肯定的還是長期來一些優秀數學家所作出的努力和獲得的成果：
歐拉（Euler）證明了n=3，4的情況；
1823年，法國數學家勒讓得證明了n=5的情形；
1840年，法國數學家拉梅和勒貝格證明了n=7的情形；
1849年，德國數學家庫默爾證明了n=3～100（37、59、67除外）的情形，但其中有錯誤；
1976年，美國數學家證明了2＜n＜1000000的情形。
當然，以上這些數還包括它們的倍數在內。1983年，前聯邦德國烏珀塔爾大學29歲的講師法爾廷斯（Falitings）證明了數學中的“莫德爾猜想”。這個猜想的一個直接推論是，對任何固定的正整數n（n＞3），xn+yn=zn至多隻有有限多組互素的正整數解。
接著，希思—布郎又證明了，對“幾乎所有”的n，費爾馬大定理都是成立的。
1988年3月10日，美國《波士頓環報》報導，日本數學家宮岡在前聯邦德國一數學研究所證明了費爾馬大定理。可是時隔僅一個月，美國《科學新聞》及其他一些報刊報導，著名數學家們在檢驗了宮岡的手稿後說，證明在細節上是有問題的。
1993年6月23日，一個令人震驚的消息在全球傳開了——350年來懸而未決的費爾馬大定理終於被40歲的英國數學家安德魯·懷爾斯所解決。
懷爾斯現在美國普林斯頓大學工作，他是一位具有世界水平的數論專家。1993年6月21日～23日，他在故鄉英國的劍橋大學艾薩克·牛頓數學研究所一連三天以“模形式的橢圓曲線和伽羅瓦表示”為題進行演講。開始，誰也看不出他有討論費爾馬大定理的意圖。最後那天，在演講的結尾部分，懷爾斯總結說，他證明了由日本學者穀山豐提出的一個猜想。在場的專家們立刻意識到，這意味著：懷爾斯已經證明了費爾馬大定理。
人們紛紛舉起相機，搶拍下這一曆史的鏡頭。接著是一片經久不息的掌聲。成千上萬的祝賀電話、郵件像雪片似地飛來，世界各大報紙競相報導這一消息。
懷爾斯的證明是否正確？這有待數學家們詳細的審查。不過，國際數論權威邦別裏、裏貝特、梅熱、阿德勒曼等均對此表示樂觀的態度。這是因為懷爾斯研究作風一向嚴謹細致，而且他的推理是以近30年來諸多數學家的成果為根據，這些根據都是可靠的。
現在看來，費爾馬當初的“批注”，如果不是開玩笑的話，那麼，他的“證明”一定是有問題的。因為僅用當時數學知識，是根本無法證明這個定理的。不過，開玩笑也好，犯錯誤也好，費爾馬的“批注”畢竟建立了曆史的功勳，因為他吹響了攻克費爾馬大定理的進軍號。
飛矢不動
養由基是我國古代最有名的射手。他射箭的技術非常高超，如果任意在一棵楊樹上指定一片樹葉，養由基站在百步之外，彎弓搭箭，嗖的一聲，這片樹葉就被他射穿了。這就是“百步穿楊”的功夫。
有一天，養由基正在表演他的“百步穿楊”絕技，有一個叫芝諾的希臘人走了過來，笑嘻嘻地說：“我今天準保能讓你的飛矢不動！”
養由基聽了大惑不解，說：“我射出的箭誰都阻擋不住，你怎麼能讓它飛著飛著突然就不動了呢？”
芝諾神秘兮兮地說：“我說你的箭是根本無法射出的。”
養由基更覺奇怪，“我的弓是最好的弓，箭也是最好的箭，我又是天下無雙的射手，怎麼可能射不出箭呢？”
芝諾說：“那你就聽我慢慢說出其中緣故吧。現在假定你張滿了弓，搭上了箭，箭頭設為點O，你瞄準了百步之外的楊樹葉點A。你的箭最後要射中點A，對嗎？”
養由基說：“當然萬無一失要射中的！”
“好，你聽著，你的箭要射中A，必定要先經過線段OA的中點A1，對嗎？”
“對！”
“箭要經過A1，又得先經過線段OA1的中點A2，對嗎？”
“是呀！”
“要經過A2，又必須先經過線段OA2的中點A3，這也是對的吧？”
“一點也不錯。”
“你想想，OA3還有中點A4，那你的箭又要先經過A4囉”,等養由基回答，芝諾又說了：“照此下去，要經過點An，都必須先經過OAn的中點An+1，這自然是千真萬確的，於是A1、A2、A3……這些點一個比一個更靠近點O，而每個線段又總是有它的中點，那麼，請問，你的箭最先應該經過哪一個點呢？”
養由基這一下抓頭了。“是呀，我的箭最先應該經過哪個點呢？這倒真成問題了。我射箭這麼多年了，我還真從來沒有想過這個問題呢！”
“是呀！”芝諾這一下可神氣起來了，“你既然連你的箭首先通過哪個點都找不到，又怎麼能讓你的箭依次通過後麵的那些點呢？”
養由基放下了弓，沉默不語了。
芝諾洋洋得意起來：“現在你該服了吧。所以我說，你的箭是根本射不出去的，這也就是說：‘飛矢不動’了。”
養由基是中國人，芝諾則是希臘有名的詭辯家，他們當然不會有這番對話，但這個故事卻是古代希臘的幾個有名的悖論之一。
與這個悖論相似，芝諾還設計了另外一些悖論，“阿基裏斯追龜”則又是其中的一個：
據說阿基裏斯是跑得非常快的一個人，芝諾卻說，阿基裏斯追不上烏龜。
假定烏龜在阿基裏斯前麵10米，而阿基裏斯的速度是烏龜的10倍，那麼，當阿基裏斯跑完10米時，烏龜已經前進1米，而當阿基裏斯再前進1米時，烏龜又前進了01米，仍在阿基裏斯前麵，阿基裏斯再前進01米，烏龜又前進了001米……如此下去，烏龜永遠在阿基裏斯前麵，所以盡管阿基裏斯跑得飛快，也永遠追不上烏龜！
這兩則悖論都是似是而非的，由於時間與空間都是連續的，但芝諾卻故意把它們分割成不連續的一係列點和一段段的時間，這就導致了錯誤的發生，但在當時，卻確實使人難以解釋得清。但這些悖論卻迫使人們對數學的基礎理論進行研究，直到十九世紀，德國數學家康托建立無窮集論後，這些問題才得到了圓滿解決。
哪裏不一樣
下麵兩圖有8處不同，請你把它們找出來。
［答案：］
百枚錢幣鼓士氣
狄青，是北宋仁宗時期有名的大將，開始，他隻是防守陝西保安（現誌丹縣）的一名士兵。當時，西夏多次打敗宋軍，後來，狄青主動要求擔任先鋒出戰。他披頭散發，帶上一個猙獰的麵具，帶頭衝入敵陣，把敵人打敗。由於狄青屢立戰功，被提升為將軍。
後來，範仲淹召見了狄青，勉勵他認真讀書，從此狄青刻苦讀書，精研兵法。以後打仗更有勇有謀，終因戰功顯赫被提升為掌管全國軍事的樞密使。
這時，南方少數民族的領袖儂智高自立政權，進攻現廣西一帶地方，占領了大片土地，打了不少勝仗，北宋朝野震動。宋仁宗派狄青前往征討，狄青為了克服兵將們畏敵情緒，想出了一個辦法。
他立了一個神壇，當著全體將士的麵向上蒼禱告：“如果這次上天保佑，一定能打勝仗，那麼，我把手中的一百枚銅錢扔到壇前地上時，錢麵（不鑄文字的一麵）一定全部朝上。”說完，在眾目睽睽之下，他把100枚錢全部扔下，結果這100枚錢竟全部朝上。於是全軍歡呼，震天動地。狄青命左右取來100枚大釘把錢全部釘在地上，任士兵觀看，並說：“待破敵凱旋，再來感謝神靈。”
將士們都認定肯定有神靈護佑，所以在戰鬥中以一當百，奮勇無敵，果然連戰皆捷，迅速平定了儂智高的叛亂。
為什麼兵士們認為100枚錢全部朝上就一定受到神靈護佑呢？
當我們扔下1枚錢時，錢麵可能朝上，也可能朝下，有兩種不同結果。
全部朝上，這幾乎是不可能的事。而這種可能性微乎其微的事竟然發生了，將士們自然認為是有神靈護佑囉。
這種可能性的計算實際上就是被稱為“概率”的一門學科。在現代數學中，概率論是非常有用的，這門學科在現代生產、生活及軍事等各個領域中都有廣泛的應用。
在概率論的發展過程中，有很多知名的數學家都做過擲錢幣的實驗，他們反複擲一枚錢幣，計算正麵出現的次數，結果發現，正麵出現的可能很有道理，這就是概率論的“等可能事件”這一內容的實驗依據。
現在我們再來看一看，狄青帶著部隊凱旋回來的情況吧。當狄青命令把100枚釘子拔起時，他的僚屬們發現，原來，這些錢幣都是狄青特製的，兩麵都隻鑄了正麵！也就是說，一百枚錢全部朝上是個必然事件。狄青隻是利用了人們的思維定勢，利用了人們敬畏鬼神的迷信心理，機智地采用偷梁換柱的手法，騙過了他的部下，鼓舞了士氣，贏得了勝利。
勇敢的叛逆者
數學史上，曾經有許多偉大的數學家因為他們的思想還不能被當時的人們理解，從而被人們嘲諷辱罵的。康托就是一例，他因為說“整數與偶數一樣多”，而被人罵成是“瘋子”，他的老師克朗涅克宣布不承認康托是他的學生。
康托激烈地與辱罵他的人爭論，自己的精神也受到巨大的刺激，終於不堪忍受，精神崩潰，病死於撒克遜州的一所精神病醫院，但他的理論並沒有因歧視和咒罵而消亡。如今，他的理論已成為現代數學的基礎。
羅巴契夫斯基（1792-1856）是俄國數學家。在他之前，人們研究歐幾裏得的“平行公設”已經有兩千多年了。歐幾裏得在他的《幾何原本》中提出了“平行公設”，即：“同平麵兩直線與第三直線相交，若其中一側的兩個內角之和小於二直角，則該兩直線必在這一側相交。”這個公設通常被表述為其等價形式：“過直線外一點有且隻有一條直線與已知直線平行。”後世數學家認為這個公設是可以證明的，因此認為不應把它列為公設。於是很多人都設法去證明它，但結果都沒能證明。