高斯、羅馬契夫斯基和匈牙利的數學家波約幾乎同時發現這個公設的獨立性，從而可以從拋棄這個公設另以別的結論替代而得出其他的幾何學。
高斯雖然是“數學王子”，但他卻害怕被人罵做瘋子，所以始終不敢發表他的看法，波約把他的想法發表了，但在聽說高斯早已有此想法，而自己的想法又沒有得到進一步承認時，他也消沉了。隻有羅巴契夫斯基挺身而出，發表了自己的研究成果成為一位勇敢的“叛逆者”。在他受到別人的責難與辱罵時，他勇敢地為之戰鬥，後來，他連教書的權力都被剝奪，生活陷入極端困境，他仍不折不撓，抗爭到底，堅信自己的意見是正確的。
現在，他創立的羅巴契夫斯基幾何已得到了世界的公認，並成為廣義相對論的幾何支柱。在羅氏幾何學中，過直線外一點可以作不止一條直線與已知直線平行，三角形的三個內角和小於180°……
可以用一個例子來形象地說明：
畫一個圓及一條與圓相交的直線l，圓內還有一個不在已知直線上的點A，過點A而與直線l在已知圓內不相交的線有許多條，如果點A與直線l不動，讓圓的半徑增大一些，這時，在已知圓內與l不相交的直線仍有許多條。如果讓圓的半徑繼續增大，則過A而與l在已知圓內不相交的直線始終不止一條。當圓的半徑大到要多大有多大時，可以想象，過A而與直線l在這無限大的圓內不相交的直線仍有不止一條。
這個例子在形象上給了羅氏幾何的相應公理作了說明。
在羅氏非歐幾何之後，又有好幾個人根據不同的公理係統推出了好幾種非歐幾何。其中“黎曼幾何”因為在大地測量上獲得應用，也同樣受到了重視。
在科學的道路上是絕沒有平坦大道的，隻有那些不畏艱辛、奮力攀登的人才有可能攀上高峰。
麻團的價格
麻團是許多人喜歡吃的點心。食堂計算麻團的成本，50克重的一個麻團所需的油費是1角錢，現在要問，100克重的麻團需要多少油錢？是否應收2角錢？答案是否定的。
50克與100克重的麻團大小不同，但形狀一樣，都是球體，是相似體。設50克重麻團的“半徑”為r1，100克重麻團的“半徑”為r2。根據相似體的性質，麻團的重量是與它們的體積成正比，而體積又和它們的半徑立方之比成正比的。
用油量與麻團的表麵積有關。麵積越大，用油量越大。再根據相似體的性質，兩個相似體表麵積與它們半徑的平方成正比。
所以收2角錢太多了。
現在我們再換一個問題：一個50克重的雞蛋殼重5克，那麼一個新品種100克重的大雞蛋殼多重？用類似的方法可以計算出，大雞蛋殼的重量隻有小雞蛋殼重量的16倍。所以買雞蛋還是買大的好。
由上麵計算給我們如下的啟發：
大顆粒糧食的出米率要高：
大冬瓜，南瓜削去的皮較少；
千粒重的黃豆、芝麻、花生的出油率高；
大的魚蝦的鱗殼少。
公雞蛋
從前有一個國王，暴虐任性。一次，他對一位大臣說：
“我吃的雞蛋都是母雞生的，現在想嚐嚐公雞蛋的滋味，命令你三天內把公雞蛋找來，我將重賞你；如果三天內找不到公雞蛋，我就要在第四天的早晨處死你。”
大臣知道厄運將至，但又不敢公開違抗，隻有悲傷地離開了朝廷。
三天過去了，大臣無法找到公雞蛋。最後的一個夜晚，他顯得異常煩躁。大臣的小兒子是一個很聰明的少年，看到爸爸如此焦急，知道一定是大禍臨頭了。便問道：
“爸爸有什麼煩悶的事呢？”
“你小孩子家，我講了又有什麼用？”大臣有氣無力地回答。
“不，爸爸！告訴我吧，或許我能為你分憂。”少年緊握爸爸的雙手，使勁地搖晃著。
大臣深情地望著自己的孩子，終於說出了事情的原委。少年沉思了一會，勸爸爸不要著急，他有辦法逢凶化吉。
第四天的一早，少年代替大臣上了朝。
“你爸爸怎麼不來呢？”國王問道。
“啟稟國王，我爸爸在家生孩子。”少年不慌不忙地回答。
少年的回答引起國王和大臣們一陣哄笑。繼而，國王生氣了：
“胡說！男人怎麼會生孩子？”
“是的，國王。男人是不能生孩子的，正如公雞不能下蛋一樣。”少年抓住時機，一句話說得國王張口結舌，無言相對，最後隻好赦免了大臣。
生活中有很多現象是類似的。我們常常根據兩個類似係統的某一係統中某一公認為正確的判斷，來對另一係統作出類似的判斷，這種方法叫做類比。“公雞是不會生蛋的”，這是公認的事實，可是國王卻違背了這個真理。“公雞不能生蛋”與“男人不能生孩子”是類似的兩個現象。為了證實“公雞不能生蛋”是正確的，就用“男人不能生孩子”這一公認的事實來類比，從而達到否定國王謬論的目的。
類比的方法在數學中有廣泛的應用。平麵上三條直線可以圍成一個三角形，空間四個平麵可以圍成一個內麵體（三棱錐）。三角形與四麵體是兩個類似的幾何圖形，它們之間可以類比。我們從三角形已有性質出發，可以推測四麵體是否也有類似的性質。
三角形有3個頂點，四麵體有4個頂點；
三角形有3條邊，四麵體有4個麵；
三角形有3個角，四麵體有6個二麵角。
任何一個三角形都有一個內切圓，任何一個四麵體是否也必有一個內切球（與四麵體四個麵相切的球）？答案是肯定的。
任何一個三角形總有一個外接圓，任何一個四麵體是否必有一個外接球（即過四個頂點的球）？答案也是肯定的。
天文學家開普勒曾說過：“我珍視類比勝於任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的。”數學家拉普拉斯也說過：“甚至在數學裏，發現真理的主要工具也是歸納和類比。”讓我們在日常生活和數學發現中，更好地發揮類比這個工具的作用吧！
踏雪擒狼
愛因斯坦是20世紀一位卓越的物理學家，被人們譽為“物理學的教皇”。
公元1879年，愛因斯坦誕生在德國。十歲時，他就進了中學。當時，德國處於軍國主義的統治下，學校教育也軍事化，教師就像軍官，動不動就罰學生站，還用戒尺打人。課堂上把一些無窮無盡的死知識硬往學生頭腦裏塞。小愛因斯坦對這種軍營式的生活非常厭煩，他甚至逃學了。
一天，愛因斯坦又到工程師雅穀布那兒去玩，工程師很喜歡這位聰明伶俐的少年。
“叔叔，代數學了有什麼用呢？”愛因斯坦麵露愁容，突然發問。
這奇怪的問題吸引了雅穀布，他注視著愛因斯坦，一會兒，微笑著說：
“坐下吧！讓我來講個故事給你聽。”
聽說要講故事，愛因斯坦很高興，習慣地坐在工程師的身旁。
“這是一個偏僻的山村。這些日子村裏鬧狼，弄得雞犬不寧。一些禽畜被拖走，連三歲的小彼得都被咬傷了。人們恨之入骨，幾次進山搜捕，都沒有找到狼的蹤跡。
“初冬，下了一場不大的早雪，可能是餓極了，一條貪婪凶殘的大灰狼又闖進村子，被人們發現後倉皇逃跑。村裏的獵手埃基伯拉拿起獵槍，沿著狼的足跡，踏雪追蹤。
“翻過村後的山凹，足印一直伸向後山的樹叢，在山腰怪石中消失了。
“‘啊，有洞！’埃基伯拉警惕地握緊手中獵槍，一步一步地逼近洞口。
“‘嗚……’洞內發出陣陣吼聲。這是大灰狼向獵人示威。
“‘砰！’一槍射向洞內。
“‘嗖！’一聲，大灰狼突然從洞中衝出，奪路而逃。
“‘砰！’又是一槍，正好擊中大灰狼的後腿。
“大灰狼倒下了，被埃基伯拉用繩子死死捆住，一點也動彈不得。
“大灰狼被捉住了，大家深深地感謝埃基伯拉，讚揚他為民除害，做了一件好事。”
獵槍，大灰狼，勇敢的獵人，踏雪追蹤，這一切對愛因斯坦來說是多麼有吸引力呀！他們比代數課裏那些枯燥無味的式子要有趣的多了！然而代數到底有什麼用呢？愛因斯坦感到工程師並沒有回答他的問題。
“我們代數裏也有‘大灰狼’”，雅穀布又繼續講了起來。
“方程裏的未知數x就是我們要逮的‘大灰狼’。雅穀布伸出右手食指向前方指了一下，似乎‘大灰狼’就在那裏。
“捉大灰狼不容易，解方程也不簡單。去分母，脫括號，移項，合並同類項……可是當你經過一番努力，求出方程的解以後，你就會感到有一種說不出的滿足和愉快，正好像獵人逮住大灰狼時的心情一樣。”
雅穀布站了起來，在屋內踱了幾步，轉過身來，微彎下腰，麵向愛因斯坦，殷切地叮嚀：
“方程是代數學的主要內容之一，它是解決應用問題的有力武器。愛因斯坦，希望你像獵人一樣，勇敢地拿起這杆‘槍’，去學習，去戰鬥吧！”
雅穀布的故事萌發了愛因斯坦對代數的興趣，他的智慧之窗打開了。從此，在雅穀布的指導下，他開始興趣融融地自學起初等數學來，後來還刻苦自學了高等數學，並利用數學這門工具最後成為世界上卓越的物理學家。
數學家的記憶力
我們在日常生活和學習中，每天都要接觸大量的事物，其中有些容易記得，有些不容易記得，這是什麼原因呢？原來記憶是和注意密切相關的。有些事物雖然經常見麵，但未引起思想上的注意，所以過目而忘。反之，在反複觀察，研究某一事物過程中，予以高度注意，就容易記得。
我國著名數學家吳文俊教授，整天忙於研究數學，就連自己的生日都記不得。一天，一位客人來拜訪他，見麵就說：
“聽您夫人講，今天是您的60大壽，特來表示祝賀！”
吳教授聽了，若無其事地說：
“噢，是嗎？我倒忘記了！”
客人感到迷惑不解，心想：“這位數學家恐怕是老糊塗了，不然怎麼連自己的生日都忘了呢？”可是，後來客人發現並非如此，當他倆談到吳教授所研究的用機器證明幾何問題時，客人指著教授所設計的一台機器問道：
“這台機器是什麼時候安裝好的？”
“去年12月6日。”教授不假思索地回答。
“您在研究用機器證明幾何問題方麵有哪些進展？”客人又問。
“大的進展談不上。今年1月11日以前，我為計算機編了300多道‘命令’的程序，完成了第一步準備工作。”教授繼續回答。
這時，客人十分驚訝地問道：
“吳教授，您自己的生日都記不住，但這幾個日子卻記得很清楚，這是什麼原因？”
吳教授爽朗地笑了：
“我從來不記那些無意義的數字。在我看來，生日，早一天，晚一天，有什麼要緊？所以，我的生日，愛人的生日，孩子們的生日，我一概不記，但是有些數字就非記不可，也很容易記。例如，年底，當然是12月；而6正好是12的一半。年初，自然是1月，而1月11日，排成阿拉伯數字是111，三個1連排，很好記。”
愛因斯坦的電話號碼是24361。別人問他怎樣記住這個數據的，他回答說：
“兩打，再加上19的平方。”
波修（1730-1814）是一本著名的數學和流體力學教程的編寫者，他的一位朋友得知他病危的消息後，特地趕到他家去看他。