此後，為了克服這些悖論，數學家們做了大量研究工作，由此產生了大量新成果，也帶來了數學觀念的革命。
說謊者悖論之趣
“我正在說的這句話是謊話。”——公元前4世紀的希臘哲學家歐幾裏德提出的這個悖論，至今還在繼續困擾著數學家和邏輯學家。因為，如果你說它是真話，那麼按照話的內容分析，它就應該是一句謊話；反過來，如果你說它是謊話，由於它說自己在說一句謊話，當然它就應該是一句真話了。那麼，這句話到底是真話還是謊話呢？這就是著名的“說謊者悖論” 。
類似的悖論最早是在公元前6世紀出現的，當時克裏特島哲學家愛皮梅尼特曾說過：“所有克裏特島人都說謊。”這句話就有兩種理解：假如說他的話是對的，那麼作為克裏特島人的愛皮梅尼特就是在說謊，他的話就是錯的；反之，假如說他的話是不對的，那麼克裏特島也有人不說謊，他的話就是對的。因而，無論怎樣都無法自圓其說。僅這點就足以使人們感到驚訝了。
說謊者悖論有許多變化形式，例如，在同一張紙上寫出下列兩句話：
下一句話是謊話。
上一句話是真話。
或者寫出一連串的“下一句話是真話”，最後標明：“第一句話是謊話。”
更有趣的是下麵的對話。同學甲對他的朋友乙說：“你下句話要講的是‘不’，對不對？請用‘是’或者‘不’來回答！”如果乙回答說：“是！”這就表明他同意了問話人的預言。也就是他要講的是“不”，因此他的回答是與自己的本意相矛盾的。如果乙回答說：“不！”這就表明他不同意問話人的預言。因此，他就應當回答“是”，因而又與自己的本意相矛盾。究竟如何回答，這是數學家正在研究但尚未解決的問題。
強盜的難題之趣
古希臘有個哲學家，講了一個故事。大意是：強盜搶劫了一個商人，將他捆在樹上準備殺掉。為了戲弄這個商人，強盜頭子對他說：“你說我會不會殺掉你，如果說對了，我就放了你，決不反悔！如果說錯了，我就殺掉你。”
聰明的商人仔細一想，便說：“你會殺掉我的。”於是強盜頭子發呆了：“哎呀，我怎麼辦呢？如果我把你殺了，你就是說對了，那應該放你；如果把你放了，你就說錯了，應該殺掉才是。”強盜頭子想不到自己被難住了，心想商人也很聰明，隻好將他放了。
如果不是這樣，假如他說：“你會放了我的。”這樣，強盜就可以說：“不！我會殺掉你的，你說錯了，應該殺掉。”商人就難逃一死了。
物理奧秘探索
“公平杯”的原理
在一個普通的杯子裏裝上一根彎曲的管子就能變成一個有趣的“公平杯”。往這個杯中倒水，水不滿時滴水不漏，但是倒得過滿時，杯中的水頃刻間會全部漏完。貪得無厭反而一無所獲，這就是“公平杯”這個名字的由來。
“公平杯”為什麼會有這種本領呢？原來是杯子中安裝的那根彎曲的管子——虹吸管在起作用。要揭開“公平杯”的秘密，必須先知道虹吸管的工作原理。
(一根一端長一端短的彎曲管中裝滿了水，設想在彎管的頂端中央有一個小液片，它受到左麵和右麵的壓強分別是：PA和PB。而PA=P大氣壓-P水ghA，PB=P大氣壓-P水ghB。因為兩管長短不等，而是hB大於hA，所以我們將得到PA大於PB，虹吸管頂端的液片在左右不相等的壓強的作用下將向右麵移動，而新補充升上來的液體又將在這左右不相等的壓強的作用下繼續向右移動，如此以往，水流將源源不斷地從A端吸入而從B端流出，一直到A端的水全部流完為止。這就是虹吸管的工作原理。