證法（1）：構造兩複數Z1=x1+i，Z2=x2+i，則
Z1=1+x21，Z2=1+x22，
Z1+Z2=(x1+x2)2+4
=21+x1+x222
Z1+Z2大於等於Z1+Z2
1+x21+1+x22大於等於21+x1+x222
兩邊同除以2即得所證之不等式。
證法（2）：構造一矩形，使一邊AB=1，一邊BC=x1+x2，點P在邊BC上移動。邊AP、BP，由平麵幾何知識知：在同底等高的三角形中，以等腰三角形的周長為最短，設M為BC之中點，則BM=CM=12（x1+x2）。於是有AP+DP大於等於AM+DM，由勾股定理1+x21+1+x22大於等於21+x1+x222。兩邊同除以2即得所證不等式。
例2是否存在常數a，b，c使得等式1×22+2×32+……+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)，對一切自然數n都成立？並證明你的結論。
解：由條件等式直接構造數列（an），使
an=1×22+2×32+……+n(n+1)2
=n(n+1)12(an2+bn+c)
因此an+1-an=n+112〔4(3-a)n2+(48-5a-3b)n+2(24-a-b-c)〕
令3-a=0，48-5a-3b=0，24-a-b-c=0，各得a=3，b=11，c=10。
這時a1=1×22-1×（1+2）12（3×12+11×1+10)=0。
故存在常數a=3，b=11，c=10，使得an=an-1=……=a1=0，即使所給式子對於一切自然數n都成立。
在解題中，根據問題的性質和條件，構造出某種幾何圖形、方程、函數等，然後通過它們來達到解題的目的，這就是構造法的解題思想。運用構造法解題，不僅要掌握數學各學科之間的內在聯係和規律性，還需要抽象的思維，才能正確“猜想”和構造出解題所需要的幾何圖形、方程、函數等。
羅素悖論之趣
一天，薩維爾村理發師掛出了一塊招牌：“村裏所有不自己理發的男人都由我給他們理發，我也隻給這些人理發。”於是有人問他：“您的頭發由誰理呢？”理發師頓時啞口無言。
因為，如果他給自己理發，那麼他就屬於自己給自己理發的那類人。但是，招牌上說明他不給這類人理發，因此他不能自己理。如果由另外一個人給他理發，他就是不給自己理發的人，而招牌上明明說他隻給不自己理發的男人理發，因此，他應該自己理。由此可見，不管做怎樣的推論，理發師所說的話總是自相矛盾的。
這是一個著名的悖論，稱為“羅素悖論”。這是由英國哲學家羅素提出來的，他把關於集合論的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。
1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理發師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。