在19世紀中，為了把微積分建立在嚴格的基礎上，極限理論促進微積分的發展。一些數學家要把分析學——微分學和積分學——的結果建立在嚴格的算術方法上，從而使分析學更嚴格化。這需要精確的實數的連續性的定義。另一些數學家用很普遍的測度理論擴展分析學的作用。分析學基本加強了函數、序列和級數的收斂性、連續性、可微性和有關實數的完備性的一些問題，微積分的入門課程一般包括對數和指數函數、三角函數和超越函數的研究。
複分析
複分析把分析學方法從實變數推廣到複變數。複數最初從代數方程可以存在普遍解中產生。它們采用d+bi的形式，式中a和b是實數。a稱為這個複數的實數部分，b是複數的虛數部分，i為根號-1，是虛數單位。因為複數有兩個相互獨立的分量a和b，它們在兩個變量必須同時處理時就特別有用。例如，已經證明它在流體動力學中的應用特別有價值，因為流體中的壓強和速度處處不同。19世紀中，數學家給複數以幾何解釋，使它更易於接受。
數論
有這樣的說法，100多年來未解決的數學問題，至今仍吸引人考慮的，就在數論中。數學的這個分支涉及數的性質和各種數係的結構的研究。它研究整數，即完整的數。數論中的許多問題和素數有關。素數是比1大的整數，而且它們的因數隻有它們自己和1。
數論的領域包括以下的問題：最大公因數，最小公倍數，分解到素數和自然數以某種形式例如可除性表示。計算機現已用來解答某些數論問題。
概率論和統計學
分析隨機現象的數學分支稱為概率論。一個隨機事件可能的全部後果組成的集合，稱為樣本空間。在這個空間中的每個結果都被賦予一個概率，即表示在單個事例中出現這個特定結果的可能性的一個數字。隨機實驗的例子是拋硬幣，樣本空間由兩個結果組成，幣的正麵或反麵朝上，而賦予每個結果的概率為二分之一。
統計學將概率論用於實際情況並涉及經驗數據的分析。統計學（statistics）這個詞反映了最初將數學方法應用於為政府（state）的意圖所收集的數據。這類研究導致了通用的下述手法：分析數據並計算多種數值，畫出相互關係，使用抽樣、計數、估計並按一定標準排列數據。
集合論
19世紀中由德國數學家康托爾創造的理論，它原來為了提供對無窮大的數學分析手段。集合論處理個體的定義良好的集合體的性質。集合可以是有限的或無限的。有限集有一定數目的元（素），例如一個集可由從1到1000的全部整數組成。一個無限集有無窮個數目的元（素）。例如全部正整數組成一個無限集。
康托爾創建了無限數的理論和與它一起前進的超限算術。他的“連續統假設”推測全部實數集是第二個最小的無限集。最小的無限集是由整數組成的集或和它等價的任意集。
在20世紀初，集合論的關於無限集、超限數和純邏輯悖論的一些矛盾，引起了將集合論公理化以消除這類困難。當哥德爾證明。對任意公理係統都能提出既非真又非假的命題，數學的傳統的必然性，似乎已經突然消失了。
在20世紀60年代，科恩成功地證明了“連續統假設”的獨立性，也就是在集合論的一個給定的公理化係統內。這個假設既不能證明成立，也不能證明不成立。這意味著有可能構思一個非康托爾集合論，在那個理論中“連續統假設”可以不成立。很像在非歐幾何學中無庸假定歐幾裏得的平行假設必須成立。
邏輯
邏輯研究從給定的前提得出正確結論的途徑。亞裏士多德第一個係統地探討邏輯，此後發展了邏輯代數概念。符號邏輯是從傳統邏輯中發展起來的，它用符號代替命題和命題之間的聯係。現代邏輯學家用代數方法和形式方法研究邏輯命題間的關係。這已經導致了模型理論和模型邏輯。
算盤
現代科學技術的發展為我們的生活和學習帶來很大的方便，計算器就是一個很好的證明。在電子計算器發明之前，我們的祖先是用什麼來進行運算的呢？答案很簡單，他們用的是算盤。算盤可以說是我國古代勞動人民的偉大發明之一，是世界上最早的計算器。
在我國，算盤的發展有著很長一段曆史，從最初誕生到發展成熟，它經曆了上千年的演變。直到唐代，我們才看到現在所使用的算盤的形態。唐代時所發明的算盤可以說是十分成熟的了。這種珠算盤到元朝的時候已經在全國得到普遍的應用了。明朝後期，我國的算盤逐漸傳到了日本、朝鮮等地，為世界文明的發展做出了貢獻。
最早的幾何繪圖工具——“規矩”