函數的發展曆程
翻開數學史，我們會發現，重要的數學概念的產生和發展，對數學發展起著不可估量的作用。有些重要的數學概念對數學分支的產生起著奠定性的作用，我們所學過的函數就是這樣的重要概念。
在笛卡兒引入變量以後，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域。人們對函數的概念也在不斷深化。
17世紀德國數學家萊布尼茨最早提出了函數的概念。最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪，如y=kx+b都叫函數。以後，他又用函數表示在直角坐標係中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。
18世紀初，瑞士數學家貝努利繼承了老師萊布尼茨對函數的研究，進一步把函數定義為：“由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量。”意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數。貝努利所強調的是函數要用公式來表示。
後來數學家覺得不應該把函數概念局限在隻能用公式來表達上。隻要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至於這兩個變量的關係是否要用公式來表示，就不作為判別函數的標準。
在後來瑞士數學家歐拉的定義中，就不強調函數要用公式表示了。18世紀中期，歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴於另一些變量，即當後麵這些變量變化時，前麵這些變量也隨著變化，我們把前麵的變量稱為後麵變量的函數。”由於函數不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標係的曲線也叫函數。他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線。”
當時有些數學家對於不用公式來表示函數感到很不習慣，有的數學家甚至抱懷疑態度。他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”。19世紀20年代，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關係，當給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞。
19世紀30年代中期，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對於每一個x都有確定的值，並且隨著x一起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的。”這個定義指出了對應關係（條件）的必要性，利用這個關係，可以來求出每一個x的對應值。
19世紀30年代末，德國數學家狄裏克雷的定義是：“如果對於x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數。”他認為怎樣去建立x與y之間的對應關係是無關緊要的，這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，隻需有一個法則存在，使得這個函數取值範圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖像或表格或其他形式。這個定義比前麵的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便。因此，這個定義曾被長期使用著。
自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受後，用集合對應關係來定義函數概念就是現在高中課本裏用的了。
中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞，是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》一書時，把“function”譯成“函數”的。
中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數。”所以“函數”是指公式裏含有變量的意思。
函數走過了漫長的曆史，一步步趨於完善。通過無數數學家的努力探索研究，才有了我們今天所學習的函數。
函數經過這一係列的發展終於以比較完善的姿態來到了我們的教科書裏麵，我們在學習前人研究結果的同時，也不要忘記數學史上那些偉大的數學家為數學的進步、社會的進步所付出的艱辛和努力。
數學符號的起源
我們知道數學家族中除了數字以外，還有一套數學符號來表示數和數、數和形的相互關係。數學符號的發明和使用比數字晚，但是數量卻多得多。現在常用的有兩百多個，初中數學書裏就不下二十多種。這些符號我們在學習中都會遇到、利用到，那它們都是怎樣產生的呢？
我們先來說說加號。加號在曆史上曾經有好幾種，現在通用“+”來表示相加。“+”號是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變而來的。
“-”號是從拉丁文“minus”（“減”的意思）演變來的，簡寫“m”。
也有人這樣解釋加號和減號。賣酒的商人用“-”表示酒桶裏的酒賣了多少。以後，當把新酒灌入大桶的時候，就在“-”上加一豎，意思是把原線條勾銷，這樣就成了個“+”號。
到了15世紀，德國數學家魏德美正式確定：“+”用作加號，“-”用作減號。