解析幾何是在平麵幾何和立體幾何的基礎上發展起來的，同時它的出現又為幾何學乃至整個數學學科的發展提供了新的思路和方法，具有重要的意義。
圓的麵積
如何求圓的麵積，現在是我們小學時的課程，一個再簡單不過的公式，幾乎人人都能熟練地掌握圓麵積的求法。但是，就是這個表麵看起來很容易解決的問題，在很久以前卻一直困擾著人們，並持續了很久。看似簡單的公式，裏麵卻蘊涵著眾多數學家的心血，凝聚了許多數學家的智慧。
人們從長方形的麵積公式求法中衍生出如何求正方形的麵積，根據正方形的麵積又推演出了三角形的麵積公式，就這樣在長期對各種簡單圖形麵積的研究中人們發現，任何一個多邊形，因為可以分割成若幹個三角形，所以它的麵積，就等於這些三角形麵積的和。但是這種方法並不是屢試不爽的，對於圓這種曲邊形這個方法就不靈了，那麼數學家們是怎麼求出它的麵積的呢？
圓是最重要的同時也是最基礎的曲邊形，怎樣求圓的麵積，即是生活和科學的需要，也是數學對人類智慧的一次考驗。在漫長的時光隧道裏，無數的數學家們用各種方法嚐試求出圓的麵積，位列古代三大幾何難題的化圓為方問題，就是人們對如何求圓麵積的一次重要嚐試。這個嚐試甚至持續了兩千多年，直到19世紀，人們才證明了這個方法行不通。盡管這個方法並沒有最終幫助人們解決圓的麵積問題，但是人們在對它嚐試的過程中積累了豐富的知識經驗。
此後人們開始了新的嚐試。我國古代的數學家祖衝之，對這個問題的研究也有突出的成就。他從圓內接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓內接正多邊形的麵積去無限地迫近圓的麵積，從而求出圓麵積的近似值。
古希臘的數學家，從圓內接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數，從裏外兩個方麵去逼近圓麵積。這些方法隻是能求得圓麵積的近似值，但數學家的大膽嚐試和創新方法，使後人再解決這個問題時有了珍貴的資料做參考。
16世紀德國著名的數學家開普勒使圓麵積的求法進入了新的時代。開普勒對圓麵積的問題非常感興趣，在經過大量計算、研究和嚐試後，開普勒獨立創造了一種全新的數學求算方法——無窮分割法，運用這種方法，開普勒不僅求出了圓的麵積，還求出了許多圖形的麵積。他將自己創造的這種求圓麵積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價開普勒的工作，稱讚這本書是人們創造求圓麵積和體積新方法的靈感源泉。
圓麵積的求法問題終於在16世紀被開普勒打開了局麵，開普勒堅持不懈的努力最終沒有白費。雖然開普勒之前的許多數學家沒有直接將圓的麵積求出來，但他們對科學的執著是值得後人學習和借鑒的。
看似簡單的圖形其實隱藏著很難捉摸的玄機，圓麵積的求法就恰好印證了這一點，但是在人們堅持不懈地努力下，還是算出來了。圓麵積求法的征途上留下了他們光輝的足跡。人類在科學的考驗麵前，再一次書寫了波瀾壯闊的一篇！
玩出的概率論
概率論最初是從研究擲骰子等賭博中的簡單問題開始的。賭博對人們的誘惑力有時候是出人意料的，以至於有人為了賭博時不輸而進行科學研究，而不是依照科學為了生活服務的常理。
《重要的藝術》一書的作者卡當，是意大利的醫生兼數學家，據說曾經大量地參與過賭博。他為了能夠使自己在賭博中少輸，專門研究了使自己不輸的方法，相傳這就是概率論產生的根源。其實，概率問題的曆史可以追溯到遙遠的過去，很早以前，人們就用抽簽、抓鬮的方法解決彼此間的爭端，這可能是概率最早的應用。無獨有偶，概率論的進一步發展又是在賭博的強大吸引力下進行的。
17世紀中葉，法國貴族德·美黑在骰子賭博中，由於有緊急的事情要處理，所以這場賭博必須中途停止，這時問題出現了，中途停止了賭博，那麼賭資怎麼進行分配呢？靠對勝負的預測把賭資進行合理的分配是比較合理的，但怎麼樣才能做到分配比例的合理呢？於是他決定向專家請教，就寫信給當時法國最為權威的數學家帕斯卡。但令他們意想不到的是，正是他們這次賭博的中斷，給後人留下了概率論，也正是這封信人們開始了探索概率論的征程。
帕斯卡不負眾望，在為德·美黑解決這個問題的過程中和當時同為第一流的數學家費馬一起，開創了一個全新的數學分支——概率論。到1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數學家惠更斯寫了《論擲骰子遊戲中的計算》一書，在這本書中，惠更斯在這本書中記述了他對這個問題的研究成果。惠更斯把概率的問題置於更為複雜的情形下，試圖總結出更一般的規律。這本書也是最早的概率論著作。