在西方，勾股定理是古希臘數學家畢達哥拉斯在公元前5世紀首先發現的，所以西方又將勾股定理稱為畢達哥拉斯定理。其實這個定理要早於這個時間被人們發現，這個時間實際上是畢達哥拉斯證明這個定理的時間，他是最早證明這個定理的人。關於他是如何證明這個定理的現在已經無從考證了。我國古代也有數學家曾經嚐試過來證明它，三國時期吳國的數學家趙爽就取得了重大收獲，並由此開創了中國數形統一的先例。現在人們已經有了四百多種方法來證明這個定理。
勾股定理雖然是一個古老的定理，但卻始終散發著神奇的氣息，人們在勾股定理的基礎上又發展了很多重要的理論，其中包括開平方、開立方，用勾股定理求圓周率等等。它一直以來吸引著中外數學家們的目光，可見它的獨特魅力。
勾股定理是個自然和諧之美的產物，數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。
哥尼斯堡七橋問題
18世紀，在東普魯士（今俄羅斯加裏寧格勒）有一座風光旖旎的城市，普萊格爾河在這個城市的中心緩緩流過，給這座城市更添了幾分嫵媚。普萊格爾河上有七座橋，將河中的兩個島和河岸連結在一起。這七座橋和普萊格爾河“珠聯璧合”，成為人們休閑的好去處。
城市裏的居民們經常漫步於河岸與這七座橋之間，經常來散步，時間久了人們自然而然地想到這樣一個問題：能不能每次每座橋隻走一次，但又把每座橋都走遍呢？這就是舉世聞名的“哥尼斯堡七橋問題”，一個著名的圖論問題。
每個到這裏散步的人都想試一試，可是這個看似簡單的問題，卻從沒有人能按照規定走一遍。七橋問題困擾著很多人，在百思不得其解的情況下，有人將這個問題提給了著名的數學家歐拉，希望歐拉能揭開這個謎底。歐拉當時已經是著名的數學家了，他並沒有因為這個問題看起來很市井就拒絕解決它，相反，歐拉對這個問題產生了濃厚的興趣，並且憑借他的才智很快證明了這種走法根本不存在。
歐拉想，既然島和半島是橋梁的連接地點，兩岸陸地也是橋梁的連接地點，那麼如果把圖中被河隔開的陸地看成四個點，七座橋就看成是七條連接這四個點的線，如果將四個點分別設為A、B、C、D，那麼“七橋問題”就等價於一個筆畫問題了。如果筆能夠不離紙，不重複的一筆將這個圖形畫完整就說明存在符合要求的路線。反之，則說明不存在這樣一條路。
歐拉注意到，每個點如果有進去的邊就必須有出來的邊，從而每個點連接的邊數必須有偶數個才能完成一筆畫，而圖上的每個點都連接著奇數條邊，因此不可能一筆畫出。這就說明不存在一次走遍七座橋，而每座橋隻許通過一次的走法。
就這樣，這個使很多人困惑的哥尼斯堡七橋問題被歐拉解決了。歐拉將島、陸地的具體形象抽象化了，再將橋連成線，這樣就把這個疑難問題轉化成了點和線問題。這種由具體轉抽象的研究方法，被人們稱為圖論研究。哥尼斯堡七橋問題就是這種研究的開端，同時它也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子。歐拉超人的智慧也成就了他在數學史上的崇高地位，使他在數學史上名垂千古。
哥尼斯堡七橋問題的發現和解決都很具有戲劇性，好像人們在娛樂中將它發現，後來又在數學家的智慧下將它解決，哥尼斯堡七橋問題在不經意間帶給了人們驚喜，正所謂生活中處處有驚喜，缺少的隻是創新思維和嚴謹的態度。
現實生活中其實有很多事物能夠帶給我們很多啟示，它們在等待著細心和智慧的心靈來發現它們。
虛數
在開方的時候，被開方數一定要是非負數，這樣它才有意義。在被開方數為負數時，在實數範圍內無解，數學家們就把這種運算的結果叫做虛數。因為這樣的運算在實數範圍內無法解釋，所以叫虛數。實數和虛數結合起來（a＋bi）就是複數。I作為虛數的單位最早是由歐拉提出的，他是由imaginary（想象的、假想的）一詞的第一個字母來作為虛數單位的。但是“實數”、“虛數”這兩個詞是由法國數學家笛卡兒在17世紀30年代率先提出來的。
虛數作為數學領域中重要的數學概念，並不是由數學家確定的，而要感謝的是一位挪威的測繪員威賽爾和一位巴黎的會計師阿爾幹。這可以說是數學史上的一個掌故了。然而，同許多新生事物一樣，虛數的發展並不是一帆風順的。
很長時間以來，人們一直認為負數沒有平方根。甚至虛數從開始出現以後，經過了兩個世紀，人們還是沒有正式承認它的存在。要歸功於直到意大利數學家卡爾丹率先承認了它的用處，虛數的用處才開始被人們了解。卡爾丹在他所著的《重要的藝術》一書中肯定了負數開平方的用處。但遺憾的是當時人們並沒有對負數進行進一步深入的研究，對它的認識還隻是存在於表麵，就更沒有對負數開平方進行研究，人們對它的用處還處在一種幾乎無知的境地，所以人們對這個“天外來客”有一種抵觸的心裏，就連偉大的數學家歐拉也沒有承認它。