四色猜想
四色猜想是世界近代三大數學難題之一。它是由英國的弗南西斯·格思裏首先提出的。
1852年格思裏從倫敦大學畢業後，來到一家科研單位搞地圖著色工作。細心的他發現：在一幅正規地圖中，凡是有共同邊界的國家，都可以最多隻用四種顏色著色，就能把這些國家區別開來。他把這個有趣的現象寫信告訴了在大學讀書的弟弟。兄弟倆想從數學上加以嚴密論證，但是二人苦思冥想了很長時間，論證的草稿堆了一大堆，仍然毫無頭緒。
弟弟隻好請教他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根經過研究也沒有找到解決這個問題的途徑，但也不能否認它。於是他寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信後，很感興趣，他決心對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。於是這個問題便以“四色猜想”的名字留在了近代數學史上。
著名的英國數學家凱利把“四色猜想”通報給倫敦的數學學會會員，征求解答。數學界頓時活躍起來，很多人躍躍欲試，想證明自己的能力。
著名的律師兼數學家肯普宣布證明了四色猜想並提交了論文。緊接著，泰勒兩人也提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。至此，人們以為四色定理的問題已經解決，很少有人過問。然而還有一個數學家赫伍德，並沒有放棄對四色問題的研究，他花費了畢生的精力致力於四色研究，前後整整60年。終於在19世紀末，也就是肯普宣布證明了四色定理的11年之後，赫伍德發表文章，指出了肯普證明中的錯誤。不久，泰勒的證明也被人們否定。四色猜想的論證又陷入不可知的狀態。
人們意識到四色猜想並不是那麼簡單的問題。許多科學家在前輩研究的基礎上又開始了四色猜想的證明，美國數學家富蘭克林證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。11年後，有人從22國推進到35國。10年後，有人又證明出39國；隨後又推進到了50國。然而，這種證明的推進十分緩慢。
計算機的發明給四色猜想的論證帶來了希望。美國數學家阿佩爾與哈肯，在美國伊利諾斯大學的3台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。雖然四色定理本身沒有什麼突出的理論價值和實際價值，但是它解決了一個曆時一百多年的難題，而且有可能成為數學史上一係列新思維的起點。但是不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們仍在努力地尋找一種簡潔明快的書麵證明方法，使四色猜想的論證更加完美。我們期待著那一天的到來。
地圖上的四種顏色就可以把不同的國家區別出來，看似簡單的四色猜想至今卻沒有人能完全證明，數學問題是多麼深奧呀！還有更多有趣的數學問題等待我們去發現。
費馬猜想
“費馬猜想”通常也叫做“費馬大定理”或“費馬最後定理”。它是17世紀法國卓越的數學家費馬提出的。
費馬生於法國，自幼就受到良好的教育。他少年時代，聰明好學、才思敏捷，尤其對數學表現出了極其濃厚的興趣。
但是由於家庭關係，費馬在大學裏攻讀的是法律，畢業後當上了律師，後來做了官。他業餘時間博識廣聞、飽覽群書，由於他精通數學，因而被譽為“業餘數學家之王”。
費馬有個“不動筆墨不讀書”的習慣，讀書時愛在書上勾勾畫畫，圈點批注，抒發見解與議論。
一天，費馬在閱讀古希臘大數學家丟番圖的《算術》一書時，在書頁邊的空白處寫下了一段話。曆史上戲稱這個定理叫做“書頁邊上的定理”，即：
“任何一個數的立方不能分解為兩個立方之和；任何一個數的四次冪不能分解為兩個四次冪之和；更一般的，除二次冪外，兩個數的任何次冪的和都不可能等於第三個具有同次冪的數。”
費爾馬的這段筆記，用數學語言表達，就是：形如an＋bn=cn的方程，當n＞2時，不可能有正整數解。這就是有名的“費馬大定理”或“費馬猜想”。
接著他又寫下了附加的評注：“我對此命題有一個十分絕妙的證明，這裏空白太小，寫不下。”這就是說，費馬認為他證明了上麵的結論。事實上，人們遍尋費馬的手跡，並沒有發現這一“絕妙的證明”，而隻看到對於n=4的情形的證明。
費馬逝世後，由於一直找不到這個猜想的證明，於是引起了許多數學家的興趣。如萊布尼茨、歐拉、高斯、阿伯爾、狄利克星、柯西以及庫莫爾等著名數學家都試證過，均沒有得到普遍的證明。
具體說來，n=4的情形除了費馬本人已有證明外，萊布尼茨和歐拉也給出了它的證明。18世紀60年代，歐拉又證明了n=3時不定方程沒有正整數解；還有71歲高齡的老數學家勒尚德和年僅20歲的青年數學家狄利克星均各自證明了當n=5時的費馬猜想。