19世紀20年代，著名的費爾巴哈定理誕生了，這個定理就是關於九點圓的證明的。德國數學家費爾巴哈在《直角三角形的一些特殊點的性質》中，闡述了自己對九點圓的證明，第一次指出了九點圓與內切圓及三個旁切圓相切，這就是人們通常所稱的“費爾巴哈定理”。那時費爾巴哈年僅二十二歲。
第二個九點圓又可稱為“十二點圓”，三角形的三個頂點是構成這個九點圓的這九個點中的一部分，而他們恰好與三角形的旁心三角形的三個高重合。此外的六個點分別是：三角形三個旁心的三邊中點，三角形內心與三個旁心連線中點。第二個九點圓與第一個九點圓的性質大致相同，但是它與三角形的外接圓重合，圓心在三角形的外心上，第二個九點圓半徑與第一個九點圓半徑之比為2∶1。
關於九點圓的證法很多，但是無一例外，所有證法都很繁瑣，讓人很難理解，英國麥凱博士發表過一篇關於九點圓的論文就有十幾頁之長。關於九點圓的證明已經成為了難點，這更為九點圓增添了幾分神秘的氣息。
大自然的巧合無處不在，總是給人意想不到的驚喜。三角形是數學裏最基本的圖形之一，三角形雖然以它的穩固著稱，然而，三角形裏處處有玄機，等待著我們去探索，從勾股定理到正餘弦定理，簡單的三角形總是吸引著人們的注意，蘊涵著深厚的底蘊。
九點圓帶給我們的不僅僅是驚異，它的特殊性也使它擁有了特殊的作用。九點圓正等待著人們對它進一步的發掘和利用。
簡單的三條線相連卻連出了九點圓，這是個數學的巧合，也是數學的神奇之處。也正是這種神奇，讓古往今來多少科學家們為之前仆後繼。
奇妙的幻方
傳說很早以前，夏禹治水的時候，在河南洛陽附近的大河裏浮出了一隻烏龜，背上有一個很奇怪的圖形，古人認為是一種祥瑞，預示著洪水將被夏禹王徹底製服。後人稱之為“洛書”或“河圖”。
如果把圖形改成現在通用的阿拉伯數字，就成了下麵的樣子。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
我們注意到上麵的圖形中，九個數字正好是從1到9，既無重複，也沒有遺漏，但它們並不是按遞增或遞減順序來排列。上圖的排法，到底有何奧妙呢？
原來，圖中任意一橫行、一縱列及一條對角線上的三個數字之和全都相等，等於15。把具有這種性質的圖表稱為“幻方”或“縱橫圖”。上麵這個三行三列的幻方就稱“三階幻方”，15是三階幻方的常數。古代又稱三階幻方為“九宮”。古書上記載：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，載九履一，五居中央。”
把上麵的九宮圖旋轉90°、180°與270°，再把它們與原圖一起畫在透明紙上，從反麵來觀察，這樣一共可以得到八個圖，但它們並無實質上的不同。
現已證明：三階幻方隻有一種構造方法。南宋數學家楊輝，在他著的《續古摘奇算法》裏介紹了這種方法：隻要將九個自然數按照從小到大的遞增次序斜排，然後把上、下兩數對調，左、右兩數也對調，最後再把中部四數各向外麵挺出，幻方就出現了。
神秘的阿拉伯數字帶給人們的是無盡的遐想與迷戀，正如幻方問題是那樣引人入勝。
神奇的“無8數”
朋友們，你們知道嗎？在數學王國裏，有一位神奇的主人，它是由1、2、3、4、5、6、7、9八個數字組成的一個八位數——12345679。因為它沒有數字“8”，所以，我們都管它叫“無8數”。
“無8數”雖然是由普通的八個數字組成的，但是它具有許多奇特的功能。它與幾組性質相同的數相乘，會產生意想不到的結果。你不信？就讓它給你展示一下吧！
它若是與9、18、27、36、45、54、63、72、81（9的倍數）相乘，結果會由清一色的數字組成。
12345679×9=111111111