第十九章
五家共井
我國最早提出不定方程問題，它由“五家共井”引起。古代，沒有自來水，幾家合用一個水井是常見的事。《九章算術》一書第８章第１３題就是“五家共井”問題：
今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何!
用水桶到井中取水，當然少不了繩索，“綆”就是指“繩索”。原題的意思是：
五家共用一水井。井深比２條甲家繩長還多１條乙家繩長；比３條乙家繩長還多１條丙家繩長；比４條丙家繩長還多１條丁家繩長；比５條丁家繩長還多１條戊家繩長；比６條戊家繩長還多１條甲家繩長。如果各家都增加所差的另一條取水繩索，剛剛好取水。試問井深、取水繩長各多少？
雖然該問題是虛構的，它是最早的一個不定方程問題。
用現代符號，可設甲、乙、丙、丁、戊各家繩索長分別為ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ；並深為ｈ。根據題意，可得
2x+y=h，
3y+z=h，
4z+u=h，
5u+v=h，
6v+x=h。
這是一個含有６個未知數、５個方程的方程組。未知數的個數多於方程個數的方程（或方程組）叫不定方程。用加減消元法可得
x=265721h，y=191721h，z=148721h，
u=129721h，v=76721h。
給定ｈ不同的數值，就可得到ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ的各個不同的數值。隻要再給定一些特定條件，就可得到確定的組解。原書中隻給出一組解，是最小正整數解。
我國古代數學家在《九章算術》的基礎上，對不定方程作出了輝煌的成績。“五家共井”問題是後來百雞術及大衍求一術的先聲。
“五家共井”問題，曾引起世界上很多數學家的注視。在西方數學史書中，把最早研究不定方程的功績歸於希臘丟番都。其實，他在公元２５０年左右才研究這些問題，要比我國遲２００多年。
公元６世紀上半期，張丘建在他的《張丘建算經》中有一個百雞問題：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛生，值錢一。凡百錢，買雞百隻。問雞翁、母、雛各幾何？
意思是，如果１隻公雞值５個錢；１隻母雞值３個錢；３隻小雞值１個錢。現用１００個錢，買了１００隻雞。問公雞、母雞、小雞各多少？
設公雞、母雞、小雞分別為ｘ、ｙ、ｚ隻，則可得不定方程消去ｚ不難得出
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去ｚ不難得出
y=7x4
因為ｙ是正整數，所以ｘ必須是４的倍數。
設ｘ＝４ｔ，則ｙ＝２５－７ｔ，ｚ＝７５＋３ｔ
∵ｘ＞０，∴４ｔ＞０，ｔ＞０；
又∵ｙ＞０，∴２５－７ｔ＞０，ｔ＜347
故ｔ＝１，２，３。
∴原方程組有三組答案：
{ｘ＝４，ｙ＝１８，ｚ＝７８{ｘ＝８，ｙ＝１１，ｚ＝８１{ｘ＝１２，ｙ＝４，ｚ＝８４
數學史家評論說，一道應用題有多組答案，是數學史上從未見到過的，百雞問題開了先例。《張丘建算經》中沒有給出解法，隻說：“術曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。”意思是：如果少買７隻母雞，就可多買４隻公雞和３隻小雞。因為７隻母雞值錢２１，４隻公雞值錢２０，兩者相差３隻小雞的價格。隻要得出一組答案，就可推出其餘兩組。但這解法怎麼來的？書中沒有說明。因此，所謂“百雞術”即百雞問題的解法就引起人們的極大興趣。
稍後，甄鸞在《數術記遺》一書中又提出了兩個“百雞問題”，題目意思與原百雞問題相同，僅數字有所區別。到了宋代，著名數學家楊輝在他的《續古摘奇算法》一書中，也引用了類似的問題：
“錢一百買溫柑、綠桔、扁桔共一百枚。隻雲溫柑一枚七文，綠桔一枚三文，扁桔三枚一文。問各買幾何？”
到了明清時代，還有人提出了多於三元的“百雞問題”。不過，各書均與《張丘建算經》一樣，沒有給出問題的一般解法。
７世紀時，有人對百雞問題提出另一種解法，但隻是數字的湊合。到了清代焦循在他的《加減乘除釋》一書中指出其錯誤。之後，不斷有人提出新的解法，但都沒有完全得到普遍解決此類題目的通用方法。例如丁取忠在他的《數學拾遺》中給出一個比較簡易的解法：先設沒有公雞，用１００個錢買母雞和小雞共１００隻，得母雞２５隻、小雞７５隻。現在少買７隻母雞，多買４隻公雞和３隻小雞，便得第一組答案。同理可推出其餘兩組。直到１９世紀，人們才把這類問題同“大衍求一術”結合起來研究。
百雞問題是一個曆史名題，在世界上有很大影響。國外常見類似的題目。
速度趣題
１．自行車和蒼蠅
兩個男孩各騎一輛自行車，從相距２０千米的兩個地方，開始沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車車把上的一隻蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達另一輛自行車車把，就立即轉向往回飛行。這隻蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車
相遇為止。
如果每輛自行車都以每小時１０千米的高速前進，蒼蠅以每小時１５千米的高速飛行，那麼，蒼蠅總共飛行了多少千米？
答案
每輛自行車運動的速度是每小時１０千米，兩者將在１小時後相遇於２０千米距離的中點。蒼蠅飛行的速度是每小時１５千米，因此在１小時中，它總共飛行了１５千米。