工程力學科學與實踐-置入Winkler地基內板的分解理論

這裏，k是地基係數。

從板麵邊界條件（11），不難證明，位移u1和u2關於x3=0反對稱，u3關於x3=0對稱，利用Lure［2］方法，調和函數b可以寫成下列形式：

b1=cos(x3Δ~)g1(x1,x2),b2=cos(x3Δ~)g2(x1,x2),b3=sin(x3Δ~)Δ~g3(x1,x2)(12)

其中，gi(x1,x2)，i=1,2,3，為待定函數，而

sin(x3Δ~)Δ~=x3-13!x33Δ~2+15!x53Δ~4+…，cos(x3Δ~)=1-12!x23Δ~2+14!x43Δ~4+…(13)

所以

Δ·b=cos（x3Δ~）(g1,1+g2,2+g3)(14)

將式(12)代入位移場(8)和應力場(10)中，並根據式(12)可以獲得：

CΔ~2g1-h24SΔ~2Φ,1=0

CΔ~2g2-h24SΔ~2Φ,2=0

-h2SΔ~2g3+h2CΔ~2Φ+kμ12Cg3+1-2v2CΦ+h28SΔ~2Φ=0(15)

其中，C和S是微分算子，

C=coshΔ~2，S=sin(hΔ~/2)hΔ~/2(16)

而Φ=g1,1+g2,2+g3。

根據Wang和Shi［5］的文章中附錄B的第一個引理，我們可以設

g1=1Δ~2Fx1+fx2，g2=1Δ~2Fx2-fx1(17)

其中分母中的二維Laplace算子理解為對數位勢。

將式(17)代入式(15)的前兩個方程中，並注意式(16)，可得：

x1C-h2Δ~24SF-h2Δ~24Sg3+x2（Cf）=0

x2C-h2Δ~24SF-h2Δ~24Sg3-x1（Cf）=0

(18)

因為式(18)是一對CauchyRiemann方程，所以我們可以假設

C-h2Δ~24SF-h2Δ~24Sg3=Uα(x1,x2),Cf=Uβ(x1,x2)(19)

這裏的Uα和Uβ是一對共軛的調和函數，上式有特解，F=Uα，f=Uβ，g3=0，這個解對g1、g2和g3沒有影響，可以忽略。所以有：

Cf=0(20)

C-h2Δ~24SF-h2Δ~24Sg3=0(21)

將式(17)代入式(15)的最後一個方程中，並注意式(16)，可得：

hΔ~22+(1-2v)k2μC+kh2Δ~28μSF+kh28μ-h2SΔ~2+hΔ~22+k(1-v)μCg3=0(22)

所以，地基內板的問題可以分解為剪切和超越彎曲兩部分，其中剪切部分中F=0，g3=0；超越彎曲部分中f=0。

4剪切部分

剪切部分僅包括函數f，且滿足式(20)，所以其對應的位移場為：

u1=-sin(x3Δ~)Δ~f,2+vψ,1,u2=sin(x3Δ~)Δ~f,1+vψ,2,u3=0(23)

其中ψ是與x3無關的二維調和函數，即Δ~2ψ(x1,x2)=0，根據Eubanks和Sternberg［16］，可以找到一個函數A(x1,x2)，滿足

A,2=ψ,Δ~2A=0(24)

令

S=μ-sin(x3Δ~)Δ~f+vA,1(25)

根據方程(20)，S滿足下麵的方程：

Δ2S=0(26)

S,3=0(x3=±h/2)(27)

根據

uS1=1μS,2,uS2=-1μS,1,uS3=0(28)

將位移場代入本構方程(9)中，得到應力場為：

σS11=2S,12,σS22=-2S,12,σS12=S,22-S,11

σS31=S,23,σS23=-S,13,σS33=0(29)

5超越彎曲部分

超越彎曲部分包括F和g3兩個函數，將式(21)和式(22)改寫成算子矩陣的形式：

L11L12

L21L22F

g3=0

0(30)

其中

L11=C-h2Δ~24S,L12=-h2Δ~24S

L21=hΔ~22+(1-2v)k2μC+kh2Δ~28μS,L22=kh28μ-h2SΔ~2+hΔ~22+k(1-v)μC(31)

按Lure算子方法，式(30)的解為：

F=L22ξ1-L12ξ2，g3=-L21ξ1+L11ξ2(32)

其中

μhΔ~21-v1-sin(hΔ~)hΔ~+k1-cos(hΔ~2) ξi=0,(i=1,2)(33)

將式(32)代入式(17)，得：

Δ~2g1=L22ξ1,1-L12ξ2,1，Δ~2g2=L22ξ1,2-L12ξ2,2(34)

將式(32)和式(34)代回位移場(8)，可得精確的位移場：

uPF1=L212-L22sin(x3Δ~)Δ~+x3L212-L222cos(x3Δ~) ξ1,1+

L12-L112sin(x3Δ~)Δ~+x3L122-L112cos(x3Δ~) ξ2,1+vψ,1

uPF2=L212-L22sin(x3Δ~)Δ~+x3L212-L222cos(x3Δ~) ξ1,2+

L12-L112sin(x3Δ~)Δ~+x3L122-L112cos(x3Δ~) ξ2,2+vψ,2

uPF3=x3(L22-L21)sin(x3Δ~)Δ~Δ~2+1-2v2L22-(1-v)L21cos(x3Δ~) ξ1+

x3(L11-L12)sin(x3Δ~)Δ~Δ~2+(1-v)L11-1-2v2L12cos(x3Δ~) ξ2(35)

這裏，ψ,3=cos(x3Δ~2)［(L22-L21)ξ1+(L11-L12)ξ2］。

將位移場(35)代入本構方程(9)中可以獲得應力場：

σPF11μ=(L21-2L22)sin(x3Δ~)Δ~+x3(L21-L22)cos(x3Δ~) ξ1,11+

(2L12-L11)sin(x3Δ~)Δ~+x3(L12-L11)cos(x3Δ~) ξ2,11-2vψ,22

σPF22μ=(L21-2L22)sin(x3Δ~)Δ~+x3(L21-L22)cos(x3Δ~) ξ1,22+