工程力學科學與實踐-置入Winkler地基內板的分解理論

置入Winkler地基內板的分解理論

王敏中1趙寶生2高陽3

（1北京大學湍流與複雜係統國家重點實驗室、工學院，北京，100871；

2遼寧科技大學機械工程與自動化學院，遼寧鞍山，114051；

3中國農業大學理學院，北京，100083）

［摘要］本文將Cheng氏精化理論的研究思路推廣到置入Winkler地基內板的研究當中，對Winkler彈性地基上的板進行了精確的分析，給出其精化理論。首先考慮到板所占有的區域是z-向凸的，故可借助於PapkovichNeuber通解的變形形式獲得利用調和函數表示的板內位移場和應力場；然後根據置入Winkler地基的邊界條件和Lure算子方法，獲得精化理論的精確方程，該精確方程分為剪切和超越兩部分；最後，分別對這兩部分進行分析，獲得了它們的位移場和應力場。

［關鍵詞］彈性板；Winkler地基；精化理論；超越彎曲方程

1引言

作為常用的工程材料，板被很多學者研究，在研究彈性地基上的板時，一般會認為板和地基之間的邊界上的應力與撓度成正比，當板的厚度增加時，誤差會越來越大，為此需要應用更精確的板的模型。

1979年，Cheng［1］從三維彈性力學的BoussinesqGalerkin通解出發，利用Lure［2］算子表示，得到了各向同性板在板麵不受外力時的精化理論，並以矩形板的扭轉為例說明了剪切部分的重要性。其後，王飛躍［3］將Cheng精化理論的方法應用到橫觀各向同性板中，得到了橫觀各向同性板在板麵不受外力時的精化理論，並對具有圓孔的無限大橫觀各向同性板的彎曲進行了分析。2004年，趙寶生和王敏中［4］對橫觀各向同性板精化理論的超越方程進行了研究，完善了王飛躍關於橫觀各向同性板的精化理論。

1997年，Wang和Shi［5］從PapkovichNeuber通解出發，利用Cheng精化理論的方法，討論了各向同性板在板麵受橫向載荷的情況，並給出了板的撓度控製方程和剪切控製方程。利用Wang和Shi改進後的方法，Yin和Wang［6］從ElliottLodge通解出發，分別對兩種不同彈性常數的情況進行分析，得到了橫觀各向同性板在板麵受橫向載荷時的控製方程。王煒和羅長虹［7］從定常溫度熱彈性Biot通解出發，得到了熱彈性板精化理論的控製微分方程。高陽和趙寶生等還將精化理論的研究思路推廣到拉伸平板［8］、磁彈性板［9］和彈性地基梁［10，11］的研究當中。

1992年,Gregory發展了板的分解理論［12］。2005年，趙寶生和王敏中［13］證明了Cheng 的精化理論與Gregory的分解理論是等價的。

本文將精化理論推廣到置入Winkler彈性地基內板的研究當中，考慮到板所占有的區域是z-向凸的，故可用PapkovichNeuber通解的變化形式，從Winkler地基假設得到彈性地基板的精確方程，並將Winkler彈性地基內板的應力場和位移場分解為兩種狀態——剪切狀態和超越彎曲狀態。

2PapkovichNeuber通解的變化形式［14］［15］

直角坐標係下的彈性力學PapkovichNeuber位移通解為：

u(x1,x2,x3)=p-14(1-v)Δ(p0+r·p)(1)

其中，x1,x2,x3為直角坐標，e1,e2,e3分別為x1,x2,x3方向上的單位矢量，Δ 為梯度算子，即

Δ=e1x1+e2x2+e3x3

而p和p0分別為調和向量與調和函數，即

Δ 2p0=0,Δ 2p1=0,Δ 2p2=0,Δ 2p3=0(2)

這裏Δ 2=Δ~2+2x23,Δ~2=2x21+2x22。

對於z-向凸的區域，對PapkovichNeuber解中的勢函數p和p0，可以令

p=bx3+(1-2v)e3Δ·b

p0=4(1-v)φ+2(1-v)x3Δ·b-r·p(3)

這裏，b和φ為調和函數，將式(3)代入式(1)中得：

u=bz+(1-2v)e3Δ·b-12Δ（x3Δ·b）-Δφ(4)

可以證明該解是完備的［15］。式(4)的分量形式是：

u1=b1,3-12x3(Δ·b)，1-φ，1

u2=b2,3-12x3(Δ·b),2-φ,2

u3=b3,3+1-4v2Δ·b-12x3(Δ·b),3-φ,3(5)

其中，下標中的逗號表示對其後之宗量的微商。令

φ=12b3-vψ(6)

這裏，ψ為調和函數，它滿足如下方程：

ψ,3=Δ·b(7)

於是，位移場有下列形式：

u1=b1,3-12b3,1+vψ,1-12x3(Δ·b),1

u2=b2,3-12b3,2+vψ,2-12x3(Δ·b),2

u3=12b3,3+1-2v2Δ·b-12x3(Δ·b),3(8)

本構方程為：

σ11=2μv1-2v(u1,1+u2,2+u3,3)+2μu1,1,σ23=μ(u2,3+u3,2)

σ22=2μv1-2v(u1,1+u2,2+u3,3)+2μu2,2,σ31=μ(u3,1+u1,3)

σ33=2μv1-2v(u1,1+u2,2+u3,3)+2μu3,3,σ12=μ(u1,2+u2,1)(9)

這裏，μ為剪切模量，v為泊鬆比。

應力場為：

1μσ11=-2vψ,22+2b1,13-b3,11-x3(Δ·b),11,1μσ23=b2,33-x3(Δ·b),23

1μσ22=-2vψ,11+2b2,23-b3,22-x3(Δ·b),22,1μσ31=b1,33-x3(Δ·b),31

1μσ12=b1,23+b2,13-b3,12+2vψ,12-x3(Δ·b),12,1μσ33=b3,33-x3(Δ·b),33(10)

3板麵條件

設板所占的彈性區域為Ω，則有：

Ω={（x,y,z）｜(x,y) G,｜z｜≤h2}

其中G為一個二維區域。顯然，區域Ω是z-向凸的，故可援用上述的PapkovichNeuber通解的變化形式（4）。

置入Winkler地基內板麵邊界條件有如下形式：

σ31=σ23=0,σ33+ku3=0（x3=h/2）

σ31=σ23=0,σ33-ku3=0（x3=-h/2）(11)