康托爾把無窮集合這一詞彙引入數學，放棄“整體大於部分”的傳統觀念，提出並發展了超限數理論，從而發現了一個廣大而又從未人知的無窮王國。他對無窮大的新見解，出人意料地打開了許多新的大門，開創了一片全新的領域，提出又回答了前人不曾想到的問題。
應該如何評價康托爾的一係列成果呢？他關於無窮集合的新觀念是打開了一條通往天堂的路呢？還是敲開了地獄之門？
第一節反對之聲
康托爾對無窮集的研究，在發表之初受到了激烈的批駁。在一段時間內，戴德金也許是當時認真而同情地了解康托爾顛覆性學說的唯一的第一流數學家。因而可以說，康托爾差不多是在單槍匹馬孤軍作戰。
實際上不難想見，康托爾那些至今讓我們還感到有些異想天開的結論在當時會如何震動數學家們的心靈。特別是，他所提出的一係列無窮基數，更令許多其同代人對其“奇談怪論”搖頭歎息。因而有人嘲諷他的超限數是“霧中之霧”。即便一些善意的數學家對他所思考並得出的結論也深感困惑，驚異地搖搖頭或幹脆表示懷疑。極其著名的法國數學家龐加萊（1854～1912）就不願接受康托爾的無窮集合論。一則在數學家之間流傳很廣的故事提到龐加萊的一種說法：總有一天，康托爾的集合論“會被看做一種被征服了的疾病”。
因而，毫不誇張地講，康托爾關於無窮的深奧理論，在當時引起了反對派的不絕於耳的喧囂。他的數學，在德國和其他一些地方，都有許多保守分子大叫大喊地反對。在這些人看來，接受實無限、比較無窮的大小簡直就像是這位有點兒神秘兮兮的年青學者搞的一場浪漫而荒唐的惡作劇。
對康托爾最激烈的反對與攻擊來自他的老師克羅內克。
克羅內克(1823～1891)，生於一個富裕的猶太家庭，父親是一個商人。年輕時著名數學家庫默爾曾做過克羅內克的老師，對他後來的數學生涯產生了重要影響。幾十年後，克羅內克說庫默爾提供了他“理性生活”的“最本質的部分”。
1841年春，克羅內克進入大師薈萃的柏林大學。1845年獲柏林大學博士學位。但此後多年，他致力於管理家族商業，成為一個非常成功的商人，這倒是保證了他餘生可以無經濟之憂地從事數學創造活動。在商業活動之餘，克羅內克一直與庫默爾頻繁通信，使自己保持了數學思維的活躍。1853年，他從商業事務中脫身出來，開始以很快的速度發表了一係列論文。1861年，經庫默爾和維爾斯特拉斯等人推薦，克羅內克被選送到柏林研究院。
克羅內克對數學哲學有強烈信念，體現他數學觀的一句名言是“上帝創造了整數，其他一切都是人為的”。他的一位學生轉述過他的數學哲學觀：“他（克羅內克）相信人們在這些數學分支中能夠也必須以這種方式限定一個定義，即人們可用有限步驗證它是否適用於任意已知量。同樣，一個量的存在性證明隻有當它包含一種方法，通過它可以實際地發現要證明存在的量時，才可被認為是完全嚴格的。”
克羅內克特別主張對存在的數學證明應當是構造性的。也就是說，要想讓他接受一個對滿足某種條件的、實際存在著的數學對象的證明，就必須要提供一種方法來明確地呈現出這個對象。他在代數數論等方麵做出的大部分工作體現了他的這一構造性數學觀。我們後麵會看到，克羅內克的主張正是直覺主義學派所堅持的信念。因此，克羅內克被認為是直覺主義學派的先驅。
克羅內克基於自己的哲學觀，反對維爾斯特拉斯的數學風格。因為後者既使用實無限，而且接受非構造性的存在定理。他把維爾斯特拉斯等所做的一些努力斥為毫無價值。兩人曾是極好的朋友，但數學觀點的差別使兩人的關係變得很糟。後來，維爾斯特拉斯宣稱與克羅內克完全斷交。
在克羅內克看來，康托爾的超窮數理論更是無法接受的，它與自己的信條完全對立。克羅內克完全否認並攻擊康托爾的工作，稱康托爾“走進了超限數的地獄”，康托爾的“思想是近10年來最具獸性的見解”。克羅內克一直試圖阻止康托爾的影響，也正是在他的竭力阻撓下，康托爾無法實現到柏林大學任教的理想。
不過，許多對康托爾的反對意見並非都是盲目的反動，事實上，許多數學家包括克羅內克對康托爾觀點的批駁都來自雙方深刻的數學觀念方麵的分歧。
其中一方麵分歧涉及數學證明的方法問題。
一、存在性證明
在數學中常用的證明方法有兩種：構造性證明與存在性證明。
所謂構造性方法是指：要證明存在一個元素滿足某性質，那麼或者具體給出滿足這一性質的元素，或能找到一個機械的程序，按照它進行有限步驟後，能確定出滿足這一性質的元素。構造性方法在曆史上曾廣泛使用，特別是中國傳統數學多采用這一方法。
關於存在性證明，我們可以看康托爾給出的一個典型例證。
實數可以分為有理數與無理數，這是為人所熟知的。不過，實數還有另一種重要的劃分方式，即分為代數數與超越數。這裏，我們需要先簡單說明一下什麼是代數數。
所謂代數數，是指滿足代數方程xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（方程中的係數是有理數）的實數根。根據這一定義，容易看到除有理數外，極其眾多的無理數如2、32等也都是代數數。實數中除了代數數外，其他的被稱為超越數。
看上去，代數數包容的麵太寬了，似乎真的想不出什麼數能夠逃脫代數數的巨大羅網。事實上，直到1748年歐拉提出超越數概念近一個世紀後，法國數學家劉維爾才於1844年通過具體的構造性方法，找出一類超越數，從而證明了超越數的存在。繼劉維爾之後，1873年法國數學家埃爾米特證明了數學中的常數e（自然對數的底）是超越數，證明很不簡單。又過了近10年，1882年德國數學家林德曼證明了π是超越數。為此，林德曼被人們稱為“π的戰勝者”。順便指出，林德曼的這一結果對化圓為方問題給出了一個圓滿的但卻是否定的解決。結論是：用尺規化圓為方是不可能的！
然而，就在埃爾米特之後一年，林德曼關於π的超越性證明出台多年之前，29歲的康托爾在其第一篇有關集合論的革命性論文《論所有實代數集合的一個性質》中，證明了一個令人震驚的結論：超越數比代數數多得多！
他的推論建立在如下兩個命題基礎上：實數集是不可數的；所有代數數的全體所構成的集是可數的。於是，超越數集是不可數的！
本來人們曾自然地認為，超越數隻是實數中的一種例外，而不是一種常規。而康托爾又一次將例外轉化為常規。他證明了超越數不單存在，而且顯然龐大的代數數與其相比隻是滄海一粟。有人用充滿詩意的語言描述了這種情況：“點綴在平麵上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成。”