這是一個真正引起爭論的定理。因為人們畢竟隻知道極少的幾個非代數數的存在。而康托爾卻十分自信地說，絕大多數實數是超越數。而在證明這一點時，他沒有展示出任何一個具體的超越數實例。相反，他隻是“數”區間中的點，並由此認為，區間中的代數數隻占很小一部分。
康托爾給出了超越數的存在性證明，但沒有構造出一個具體的超越數，這就是典型的存在性證明。當時，人們更認同的是構造性證明，對“心目中虛無縹緲的對象就斷言它的實際存在”的方法，人們總覺得似乎不可思議。而在堅信隻有構造性證明才合情合理的克羅內克看來，斷言有大量的超越數存在，卻又舉不出一個實例，隻能是十足的愚蠢或瘋狂。
我們會在下麵的章節中看到，進入20世紀，關於這兩種證明方法的爭論仍在延續。
二、實無限觀
更多的反對之聲則涉及實無限觀問題。
“無窮既是人類最偉大的朋友，也是人類心靈寧靜的最大敵人。”從數學產生之日起，無窮就如影如隨。實際上，作為數學發端的自然數1，2，3…本身，就以它們質樸的麵貌展示了向這一堡壘攀登的最初嚐試。寫在1，2，3後麵的省略號，就是我們邁向無窮的第一步。
然而，自古以來，人們對無窮就有兩種不同的認識。這就是亞裏士多德所區分的潛無窮與實無窮。我們已經提到，亞裏士多德認為隻存在潛無限，而不存在實無限。對他來說，無限多個事物或要素不能構成一個固定的整體。如他明確聲稱：“無窮大是一個潛在的存在……實無窮將不存在。”亞裏士多德搭起了一個研究無窮的舞台，但舞台上的演員隻有潛無窮，沒有具體的、可達到的無窮。其後的數學家大多時候就在這個奇怪的“潛在的”概念舞台上擺弄無窮。
在微積分創立之初，曾以實無限小為基礎，無窮小量被看做一個實體，一個對象。但這種以實無限思想為據的微積分理論的基礎並不牢固，隻是由於應用上的巨大成功才在其產生後———即使導致了貝克萊悖論———仍然被數學家所使用。然而，在高斯時代，實無限已開始被拋棄了。這位數學王子曾明確表示自己對實無限的恐懼：“……我反對將無窮量作為一個實體，這在數學中是從來不允許的。所謂無窮，隻是一種說話的方式……”隨著重建微積分基礎工作的完成，無窮小量被拒之於數學大廈之外，無窮小被看做實體的觀念在數學分析中亦被驅除了，而代之以“無窮是一個逼近的目標，可逐步逼近卻永遠達不到”的潛無限觀念。這種思想突出表現在關於極限的嚴格定義中，並由此建立起了具有相當牢固基礎的微積分理論。因此，隨著微積分理論的成熟與嚴密化，潛無限思想在康托爾時代已變得深入人心，占據了決定性的地位。
然而，康托爾卻背離當時數學界關於無窮的觀念，逆勢而行。在創立無窮集合論時，他做的第一步重要工作就是把實無限引入了數學，我們上一章所介紹的他的工作也都是奠基於實無限觀念之上的。事實上，無限集合是集合論研究的主要對象，也是集合論建立的關鍵和難點。集合論的全部曆史都是圍繞著它而展開的。
正如康托爾本人在《集合論基礎》中所做的說明：“我的集合論研究的描述已經達到了這樣的地步，它的繼續已經依賴於把實的正整數擴展到現在的範圍之外，這個擴展所采取的方向，據我所知，至今還沒有人注意過。我對於數的概念的這一擴展依賴到這樣的程度，沒有它我簡直不能自如地朝著集合論前進的方向邁進哪怕是一小步。我希望在這樣的情形下，把一些看起來是奇怪的思想引進到我的論證中是可以理解的，或者，如有必要的話，是可以諒解的……雖然這可能顯得是大膽的，我卻不僅希望而且堅信，到了適當時機，這個擴展將會被承認是十分簡單、適宜而又自然的一步。”
康托爾還坦承，實無限觀念“是和我所珍視的傳統相違背的，和我自己的願望更相違背，我是被迫接受這種觀點的”。然而，他又表明“可是多年的思考和嚐試，指明這種結論是邏輯上的必然，由於這個緣故，我自信，沒有什麼持之有據的反對意見是我所無法對付的”。
然而，康托爾把自己置於與廣為流傳的數學無窮觀正好對立的位置上的做法，在當時不亞於一種反叛行為，所以他的思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是無足為怪的。
康托爾後來針對他的觀點所受到的強烈批評又多次做出強有力的辯護。
一方麵，他指出人們不能接受實無限隻是囿於“整體大於部分”這樣的舊觀念；囿於“期望無窮數具有有窮數的所有特性，或者甚至把有窮數的性質強加到無窮數上”之類的主觀臆想和偏見。因此，對合理的實無限不應不加鑒別的拒絕。
另一方麵，康托爾以強有力的證據指明，數學理論必須肯定實無窮。他指出：在數學中要完全排斥實無窮的概念是不可能的。因為很多最基本的數學概念，如一切正整數，圓周上的一切點等等，事實上都是實無窮性的概念；關於極限理論，康托爾指出：它是建立在實數理論之上的，而實數理論的建立（無理數的引進）又必須以這樣或那樣的實無窮的概念為基礎。康托爾還進而指出，極限理論本身事實上也是建立在實無窮的概念之上的。因為變量如能取無窮多個值，就必須有一個預先給定的、不能再變的取值“域”，而這個域就是一個實無窮。康托爾又指出，數學證明中應用實無窮（無窮集合）由來已久，並且也是不可避免的。以前的許多數學家在證明中都使用過。確實，在康托爾時代，許多數學家其實都偷偷運用了實無限。如他們毫無顧忌地說到直線上或平麵上的任意點等。一句話，數學是離不開實無限的。
然而，降到他身上的風暴從其猛烈程度上而言仍是空前的，而且最終使康托爾的晚年充滿災難。但康托爾麵對重重困境，並未對自己工作的價值喪失信心。
1888年，康托爾對自己大膽闖入超限王國做出了評價，他說：“我的理論堅如磐石，射向它的每一枝箭都會迅速反彈。我何以得知呢？因為我用了許多年時間，研究了它的各個方麵；我還研究了針對無窮數的所有反對意見；最重要的是，因為我曾窮究它的根源，可以說，我探索了一切造物的第一推動力。”“我毫不懷疑超限數的正確性，因為我得到了上帝的幫助，而且，我曾用了20多年的時間研究各種超限數；每一年，甚至每一天我在這一學科中都有新的發現。”
康托爾確信：“我認為是唯一正確的這種觀點，隻有極少數人讚同。雖然我可能是曆史上明確持有這種觀點的第一個，但就其全部邏輯結果而言，我確信我將不是最後一人！”