例4.一張卡片，正麵寫著“反麵寫的那句話是真的”，而反麵則寫著“正麵那句話是假的”。那麼，正麵那句話是真是假？
例5.無名氏悖論：請不要理睬這個聲明！
與古老悖論受到重視的同時，人們又發現一係列新的悖論。我們也舉兩例。
例6.理查德悖論。
1905年，法國一位中學教師理查德發表了一個悖論，後被稱為理查德悖論。這一悖論有各種表述形式。我們介紹其中一種。
自然數有各種不同的性質，比如有的數能被2整除是偶數，有的是素數，有的是完全數等等。現在將自然數的性質編號，並表示為：
a1，a2，a3，…，an，…
有的自然數n恰好具有性質an，把這樣的自然數稱為“非理查德數”。否則稱為“理查德數”。比如a4代表“能被2整除的性質”，因為4恰為偶數，那麼4就是一個“非理查德數”；a9代表素數性質，因為9不是素數，那麼9就是一個“理查德數”。這樣，所有自然數分為了“理查德數”與“非理查德數”。現在考慮理查德數本身，它也是自然數的一種性質：“與對應的編號所代表的性質不相符的自然數”，我們可以把這個性質記為am，現在的問題是：自然數m是否為理查德數？容易發現，這一數為“理查德數”當且僅當它不是“理查德數”。無論如何都是矛盾。
例7.格裏林悖論。
1908年，格裏林提出一個悖論：如果一個形容詞所表示的性質適用於這個形容詞本身，比如“黑的”兩字的確是黑的，“中文的”一詞的確是中文的，這類形容詞稱為自適用的。反之，一個形容詞如果不具有自適用的性質，就叫做非自適用的。比如，“紅的”兩字並非紅的，“英文的”一詞並非英文的。現在我們來考慮“非自適用的”這個形容詞，它是自適用的還是非自適用的呢？如果“非自適用的”是非自適用的，那麼它就是自適用的；如果“非自適用的”是自適用的，那麼按照這詞的意思，則它是非自適用的。無論如何都導出矛盾。
格裏林悖論在表述形式上與羅素悖論相似。但與羅素悖論歸於邏輯數學悖論不同，格裏林悖論被歸於語義學悖論。這種悖論與語言的使用有關，是借助語義學的概念構成的。我們上麵剛剛介紹的說謊者悖論、理查德悖論也都屬於語義學悖論。
這些邏輯悖論與語義學悖論簡單到任何人都能理解。如果放在20世紀以前，人們最多把這些當作有趣的無關緊要的話題，根本不會在實在的重要場合中提到它們。然而，進入20世紀，人們卻發現這些悖論已深入到數學與邏輯內部，揭示了整個邏輯和數學內在的深刻問題，從而上升為某種本質的東西，這就使得整個數學界不得不去關心如何解決這些悖論了。
第二節悖論分析與解決途徑
各種悖論相繼提出並產生了第三次數學危機後，眾多數學家開始分析悖論產生之因，並尋求消除悖論的解決方案。當回顧這段曆史時，我們不得不說，悖論的出現，尤其是引起普遍關注，實在是恰逢其時。設若早幾年出現這樣的事情，康托爾的反對派手中將增添一件極具殺傷力的武器。康托爾的集合論能否幸存下來都很難預料了。好在悖論出在集合論已贏得了大量同盟軍的時刻。在這種情況下，固然會有反對派借題發揮，要求取消集合論。但更多的卻站在保衛集合論的立場上，迅速投入到解決危機的工作之中。
對悖論產生之因，康托爾認為在於使用了太大的集合。康托爾指出：我們應把集合區分成相容的和不相容的。也就是說，不能把太大的集合看成是一種真正的集合。他說：“那種把其所有元素聯合起來的假設可能導致矛盾。”康托爾的這種區分法預示了馮·諾依曼在1925年引進的集合和類的區別。
具體來說，這種太大集合的引入是由於康托爾集合論中構造集合時使用的概括原則有問題。這一原則是說，所有滿足某種性質的元素可以合在一起構成一個集合。因而，對概括原則做某種限製成為消除悖論的一種可以選擇的方式。
1905年，理查德在提出其悖論的同時，提出一種思想：一個集合不能包含那種隻能借助於這一集合本身才能定義的對象。1906年，法國著名數學家龐加萊在對悖論研究後采納了這一想法。他指出，許多已有悖論的根源與非直謂定義有關。所謂非直謂就是說：被定義的對象被包括在借以定義它的各個對象中，也就是借助一個整體來定義屬於這個整體的某個部分。例如，考慮羅素的理發師悖論：用M標示理發師，用S標示所有成員的集合，則M被定義為“S的給並且隻給不自己刮胡子人中刮胡子的那個成員”——理發師的定義涉及所有的成員，並且理發師本身就是這裏的成員——定義的循環性質是顯然的。簡言之，x是類A的一個成員，但定義x時又需要依賴於A，顯然這種定義具有循環或說“反身自指”的特征。既然問題出在具有循環性質的非直謂定義上，因此不允許有這種定義便是一種解決集合論已知悖論的辦法。但這種解決辦法也存在一個大問題，因為人們發現在微積分理論中一些基本概念的定義也都屬於這種非直謂定義。因此，如果完全排除非直謂定義，那麼許多已有的數學理論就要做大的修改。
對悖論做出分析，並從原則上確定消除悖論的方法是通向解決問題的第一步。下一步則是如何在數學中貫徹相應的原則，完善集合論，改造數學。在這方麵，數學家們也是八仙過海，各顯其能。我們這裏先介紹一種被證實極為有效的途徑：集合論的公理化方案。1908年，數學家策梅羅沿這一方向做出了第一次成功的嚐試。
公理集合論
策梅羅（1871～1953），德國數學家。
策梅羅的父親是一位大學教授。策梅羅從小在柏林讀書。1889年大學畢業後，在柏林、哈雷等地鑽研數學、物理和哲學。1894年策梅羅在柏林獲得了博士學位，1899年策梅羅執教於哥廷根大學，在此期間，他受到大數學家希爾伯特的影響，轉向數學基礎研究。1899年，策梅羅早於羅素發現了羅素悖論。不過，他隻將這一悖論告訴希爾伯特，沒有公開發表。1904年，他研究康托爾的良序問題，並於9月發表論文“每一集合都能夠被良序地證明”，證明了康托爾提出但沒有解決的良序假設，使之成為一條定理：良序定理。這一問題的解決使他聲名鵲起。1905年12月，他被哥廷根大學任命為教授。1908年，策梅羅發表著名論文《關於集合論基礎的研究》，建立了第一個集合論公理體係，用集合論公理化的方法消除了羅素悖論。1916～1926年，因健康不佳，策梅羅移居黑森州。為了表彰他在集合論基礎方麵的成果，並讓他能好好休養，希爾伯特從他創辦的沃爾夫斯可爾基金的利息中獎給策梅羅5000馬克。
下麵我們來介紹一下策梅羅所建立的第一個集合論公理係統。在標誌這一係統建立的1908年論文開篇，策梅羅寫道：“集合論是這樣一個數學分支，它的任務就是從數學上以最為簡單的方式來研究數、序和函數等基本概念，並借此建立整個算術和分析的邏輯基礎；因此構成了數學科學的必不可少的組成部分。但是在當前，這門學科的存在本身似乎受到某種矛盾或者悖論的威脅，而這些矛盾和悖論似乎是從它的根本原理導出來的。而且一直到現在，還沒有找到適當的解決辦法。麵對著羅素……的悖論……康托爾原來把集合定義為我們直覺或者我們思考的確定的不同的對象作為一個總體，肯定要求加上某種限製……我們沒有別的辦法，而隻能嚐試反其道而行之。也就是從曆史上存在的集合論出發，來得出一些原理，而這些原理是作為這門數學學科的基礎所要求的。這個問題必須這樣解決，使得這些原理足夠地狹窄，足以排除掉所有的矛盾。同時，又要足夠地寬廣，能夠保留這個理論所有有價值的東西。”