當數學家們在無窮集合的伊甸園中優哉遊哉，並陶醉於數學絕對嚴格性的時候，一個驚人的消息迅速傳遍了數學界：“集合論是有漏洞的！”這就是英國數學家羅素提出的羅素悖論。
第一節羅素悖論與第三次數學危機
羅素（1872～1970），英國數學家、哲學家。
羅素出身於一個貴族家庭，父母早亡，2歲時母親去世，3歲時父親也去世。於是羅素與祖父祖母生活在一起。祖母對他童年和青少年時期的發展有過決定性的影響。她曾用一條緘言告誡羅素：“你不應該追隨眾人去做壞事”，羅素一生都努力遵循這條準則。
羅素少年時未被送到學校去學習，而隻是在家裏接受保姆和家庭教師的教育。他的童年和少年時代是孤獨的。由於他的一個叔叔的影響，他從小就對科學產生了興趣。在哥哥的幫助下，他11歲時開始學習歐氏幾何，這是他智慧發展的重要轉折。在《自傳》中他追憶道：“這是我生活中的一件大事，猶如初戀般的迷人。”
1890年10月，羅素考入劍橋大學，在三一學院學習數學和哲學。在此期間，他結識了當時劍橋大學數學講師懷特海等人。1895年他在劍橋三一學院獲研究員的職位。20世紀初，他發現著名的羅素悖論，引發了一場新的數學危機。其後10多年間，他投身於數學基礎與數理邏輯的研究之中，以期擺脫悖論並重建數學的基礎。
從1916年至20世紀30年代後期，羅素以寫作和公開演講為生。1920年，曾應邀到中國講學一年，給我國哲學界以很大的影響。作為一位蜚聲國際的哲學家，他用“邏輯原子主義”來稱呼自己的哲學。他比較通俗的《西方哲學史》、《西方的智慧》在我國哲學愛好者中有著廣泛的影響。
20世紀50年代後，羅素從哲學轉向國際政治，他反對核戰爭、主張核裁軍。由於積極從事政治活動，他晚年享有世界範圍的名望。羅素一生曾兩次被捕入獄，其原因是因為伸張民主和參加核裁軍運動。
1950年，羅素獲得諾貝爾文學獎。諾貝爾獎金委員會在授獎時稱他為“當代理性和人道的最傑出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無畏鬥士”。
一、羅素悖論
羅素發現著名的集合論悖論是在1901年。他後來這樣追敘自己當時的思考曆程：“一個集合既可能是也可能不是它自身的一個組成成員。比如，由多個茶匙構成的集合顯然不是另一個茶匙，而由不是茶匙的東西構成的集合卻是一個不是茶匙的東西。似乎有不少正麵例證，如所有的集合構成的集合是一個集合……這使我想到了不是自身成員的集合，它們似乎也構成一個集合。於是我問自己，這樣一個類是否是它自身的成員？如果它是其自身的組成成員，那麼它應該具有由這個集合的定義規定的性質，即它不是自身的成員；而如果它不是自身的一個成員，則它就不具有由這個類的定義規定的性質，因而它必須是自身的成員。於是以上兩種情況的每一種均走向自己的反麵，從而自相矛盾。”
讓我們再簡單說明一下羅素的想法。他先想到的是，任何一個集合都可以考慮它是否屬於自身的問題。而有些集合屬於它本身，有些集合則不屬於它本身。隨後，羅素考慮後者的全體組成的集合，即羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。
如果S屬於S，根據S的定義（S包含所有不屬於自身的集合），S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義（S包含所有不屬於自身的集合），S就屬於S。無論如何都是矛盾的。這就是羅素提出並論證的羅素悖論。羅素悖論明確表明康托爾的集合論中包含著邏輯矛盾。
羅素悖論有多種通俗版本，其中最著名的是羅素於1919年給出的“理發師的困境”。在某村理發師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮胡子的人刮胡子，並且隻給村裏這樣的人刮胡子。現在問：“理發師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那麼他就不符合他的原則，因此他不應該給自己刮胡子；而如果他不給自己刮胡子，那麼按原則他就該為自己刮胡子。
羅素在發現這個悖論後極為沮喪：“每天早晨，我麵對一張白紙坐在那兒，除了短暫的午餐，我一整天都盯著那張白紙。常常在夜幕降臨之際，仍是一片空白……似乎我整個餘生很可能就消耗在這張白紙上。讓人更加煩惱的是，矛盾是平凡的。我的時間都花在這些似乎不值得認真考慮的事情上。”
一年以後，羅素將這一悖論寫信告訴了數學家弗雷格。弗雷格回答說，羅素悖論的發現使他驚愕之極。他在自己已處於付印中的《算術的基本規律》第二卷連忙加的一個補遺中，寫下看到羅素悖論後的傷心反應：“一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。”戴德金也因此推遲了他的《什麼是數的本質和作用》一書的再版。
其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。早在1897年3月，布拉利福爾蒂已公開發表了最大序數悖論。1899年，康托爾本人也發現了最大基數悖論：取S是一切集合的集合，根據我們前麵介紹過的康托爾定理，S的冪集基數大於S的基數。但S是一切集合的集合，它的基數不可能小於其他集合的基數。當時因為這兩個悖論牽涉到較為複雜的理論，人們認為可能是由於在其中某些環節處不小心引入的一些錯誤所致，人們對消除這些悖論也是樂觀的，所以它們隻在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。
但羅素悖論則不同。這一悖論相當簡明，而且所涉及的隻是集合論中最基本的方麵，以致幾乎沒有什麼可以辯駁的餘地，這就大大動搖了集合論的基礎。由於集合論概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論已經成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然引起對數學整個基本結構有效性的懷疑。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界引起了極大震動。“絕對嚴密”“天衣無縫”的數學，又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機之中。原本已平靜的數學水麵，因羅素悖論這一巨石的投入，又一石激起千重浪，令數學家們震驚之餘有些驚慌失措，這就導致了數學史上所謂的“第三次數學危機”。
二、一連串悖論
羅素的悖論發表之後，許多以前被看做消遣性智力遊戲的古老悖論進入了數學家們的視野。這類悖論中最古老又最有名的是說謊者悖論。
公元前4世紀，古希臘哲學家歐布裏德提出這樣一個命題：“我現在說的是一句假話。”我們現在來看一下他的這句話是真話還是假話。
如果說它是假話，我們就會推出這句話不是假話，是真話，矛盾。如果說它是真話，我們就會由原話得出這句話是假話，仍然矛盾。因而，無論我們承認歐布裏德的話是真還是假，我們都將陷入矛盾中。對這一令人困惑的命題，人們稱為“說謊者悖論”。
這一悖論有許多改頭換麵的形式。我們再來欣賞幾個。
例1.哥：我那弟弟啊，真不老實，總愛撒謊，你聽，他下麵講的話就是假的。
弟：親愛的哥哥，你說了真話！
例2.一國王訂了一個法規：進其禁地者若講真話則殺頭，若講假話則淹死。一天，一個因違反其法規的人被帶到國王麵前接受懲罰。這個聰明人說：“我是來被淹死的。”
例3.塞萬提斯在《堂吉訶德》中，也提出了類似悖論：有一位貴族的封地給一條大河分成兩半，河上有一座橋，橋的盡頭有一具絞架。封地的主人也是河和橋的主人，他製定了一條法令：“誰要過橋，先得發誓聲明到哪裏去，去幹什麼。如果說的是真話，就讓他過去；如果撒謊，就判處死刑，在那裏的絞架上處決，絕不饒赦。”一次，有人來到這裏發誓聲明說，他過橋沒別的事，隻求死在那具絞架上。那麼，應該如何處置這個人呢？如果絞殺他，他的誓言就是真的，憑製定的法令，該讓他過橋；如果不絞殺他，他的誓言就是謊話，憑同一法令，該把他絞殺。