哥德爾第一不完全性定理與第二不完全性定理現在合稱為“哥德爾不完全性定理”，它們揭示了形式化方案不可避免的局限性，出人意料地宣告了希爾伯特綱領的失敗。
三大學派的數學基礎論戰由此拉上了帷幕。就其最終目標而言，羅素兔子、布勞威爾青蛙、希爾伯特老鼠全都成了輸家；然而就其完成目標過程中所獲得的成果而言，數學特別是數理邏輯成了最後的贏者。
第二節數理邏輯的興起與發展
用數學方法研究邏輯問題，一般認為始於微積分創建者之一的萊布尼茲。這位具有宏大而驚人眼光的大人物，自青年時期就產生了一個奇思妙想：創造一種“普遍文字”，能夠把人類的思想還原為計算，並且製造出強大的機器能執行這些計算。為了實現這個“萊布尼茲之夢”，萊布尼茲在“推理演算”方麵，做出過若幹次嚐試。他的超越於時代的想法大部分沒有發表，在他去世後也未得到發展。
一個多世紀後，英國數學家喬治·布爾（1815～1864，布爾代數就是以他的名字命名）獨立提出了一種可用的符號邏輯。他的偉大成就是一勞永逸地證明了邏輯演繹可以成為數學的一個分支。從他開始，數理邏輯就一直處於連續不斷的發展之中。
在這條發展之路上邁出第一大步的是德國數學家、邏輯學家弗雷格（1848～1925）。1879年，他發表“也許是自古以來最重要的一部邏輯學著作”《概念語言》。在這本隻有88頁的不朽之作中，弗雷格首次製定了一個現代的邏輯係統，包含了作為現代數理邏輯基礎的兩個演算係統：命題演算係統和一階謂詞演算係統。然而，他的工作開始時並未受到重視。在他任教的耶拿大學，他的突破性工作根本不被欣賞，在退休之時這位“對現代數理邏輯貢獻最大”的人仍然隻是一名副教授，未曾晉升為正教授。1902年，弗雷格收到了對他工作表示敬意的羅素來信。然而不幸的是，從他的欣賞者羅素那裏他獲得的不但是讚賞，還有災難性的羅素悖論。羅素悖論摧毀了他為實現邏輯主義目標付出的努力（當然未曾觸及他的數理邏輯），他在這沉重打擊下再也沒有恢複元氣。
意大利數學家皮亞諾在不了解弗雷格研究的情況下也在數理邏輯發展方麵做出了貢獻。他創立的符號係統遠比弗雷格的係統易於理解，並在數學界產生了很大影響。我們已經提到羅素正是受他的影響開始數理邏輯研究的。
從20世紀初到30年代，圍繞數學基礎展開的三大學派之間的爭論，成為數理邏輯發展的巨大推動力。在這方麵，首先是邏輯主義者做出了重要貢獻。
羅素發展了弗雷格和皮亞諾的工作，他與懷特海合作完成了三大卷的《數學原理》。這一巨著雖然如我們已經評價過的，未能實現其邏輯主義目標，但在數理邏輯方麵，它卻建立了一個完全的命題演算和謂詞演算係統；發展並給出了一個完全的關係邏輯係統；以及提出了摹狀詞理論。書中發展的類型論與邏輯主義的宗旨之間並沒有必然的聯係，因此去除邏輯主義者的宗旨後剩下的合理內核“類型論”被許多數學家所接受。事實上，由於弗雷格、羅素等邏輯主義者的努力，形式邏輯從傳統邏輯到數理邏輯的發展基本上實現了。或者說，《數學原理》“總結了以往的數理邏輯的成果，以往的數學基礎研究的成果，可以說它宣告數理邏輯已經充分成熟了”。因此，從數學角度而言，邏輯主義“代表了一個第一流的學術運動，它是對於人類思想的力量和美妙的巨大貢獻”。
直覺主義者對數理邏輯的發展也做出了貢獻。他們否定排中律，發展了自己的邏輯係統。直覺主義邏輯與傳統邏輯很不相同，但它在數學中的地位已經得到大多數數學家的確認。
形式主義者對數理邏輯的發展做出了更為重要的作用。希爾伯特提出證明論後，人們進行了大量的研究，取得了眾多的成果，使證明論成為數理邏輯的一個重要分支。而哥德爾的發現作為數理邏輯最重大的成就之一，也正是在研究希爾伯特規劃的基礎上做出的。但哥德爾工作的意義更表現在，它把希爾伯特的方向扭轉，使數理邏輯走上了全新的道路。
“由哥德爾的結果應當引出一條新的途徑，去理解數學形式主義的作用，而不應把它當作問題的結束。”哥德爾的工作不但是數理邏輯發展上的一個裏程碑，而且成為數理邏輯發展的轉折點。它在數理邏輯的曆史上，起了承前啟後的作用；它結束了各派的爭論，並將數理邏輯引至另外的方向上，開辟了數理邏輯發展的新時代。1930年以後，數理邏輯進入一個大發展的新階段。作為這門數學分支成熟與蓬勃發展的標誌，數理邏輯本身又劃分出證明論、遞歸論、模型論、公理集合論多個數學分支。
一、證明論
哥德爾不完全性定理表明希爾伯特有限主義規劃行不通，證明論由此轉入新的發展軌道。一些數學家試圖通過放寬對形式化的要求來確立形式係統的相容性，例如1936年，希爾伯特的學生甘岑(1909～1945)用超限歸納法證明了自然數算術形式係統的無矛盾性。這種放寬了的希爾伯特規劃在第二次世界大戰之後發展成為證明論的分支，這些證明也推廣到分支類型論及其他理論。20世紀60年代後，人們又開始了關於證明的結構及複雜度等問題的研究。1977年，英國年輕數學家帕裏斯等人發現了一個在皮亞諾算術中既不能證明也不能否證的純粹組合問題，給出哥德爾不完全定理的具體實例，並開辟了證明論另一新方向。證明論有了更深入的發展。
二、遞歸論
遞歸論是一門研究遞歸函數及其推廣的分支。
遞歸函數受到關注是在20世紀30年代。哥德爾在不完全性定理的證明中，用到了原始遞歸式作工具，於是由原始遞歸式做出的原始遞歸函數受到人們的重視。1934年，哥德爾本人提出一般遞歸函數的定義。
其後短短兩三年內，許多數學家幾乎同時提出一些“能行”（粗略而言，這個概念含有可具體實現的、有效的、有實效的等意思）可計算的函數類。如數學家克林與丘奇引進λ可定義函數；圖靈與波斯特獨立定義了圖靈機可計算函數等。不久，人們發現這些從不同角度提出的可計算函數是相互等價的。於是，一個自然的問題是：一般遞歸函數類是否包括了所有能行可計算函數。丘奇給出肯定的斷言，這就是“丘奇問題”。1947年，蘇聯數學家馬爾科夫發表《算法論》，明確提出算法的概念。這個概念被證明與其前定義的遞歸函數及可計算函數的計算過程是等價的。
算法思想源遠流長，從古代開始，人們就已經掌握了許多算法。如整數、普通分數的加減乘除運算以及代數學中關於多項式的運算，方程的求根公式等等，都是數學中最基本的一些算法。而我國古代《九章算術》中的“術”，用現代觀點看就是一些算法。事實上，我國傳統數學的特點恰體現在：在從問題出發以解決問題為主旨的發展過程中建立了以構造性與機械化為其特色的算法體係。中國傳統數學的重要思想就是關於算法的思想，
但算法概念的精確表達隻到此時才搞清了，而且人們一下子有了多種等價的描述算法的數學模型，通過它們都可以給出精確的算法定義。算法的概念從含糊、直覺過渡到精確，被放在了一個堅實的數學立足點上。
遞歸論的一個主要課題是判定問題，即判斷給定數學問題是否可計算或存在算法解。因為早先沒有確切的算法概念，判定問題難以展開。隨著算法精確定義的給出，以前直觀的判定問題有了精確的數學表述，判定問題也有了突飛猛進的發展，並立即在數學基礎乃至整個數學中產生了巨大的影響。
最早明確提出的數學判定問題是希爾伯特第10問題：尋求判定任一給定的丟番圖方程（整係數不定方程）有無整數解的一般算法。這一問題在經過多位數學家的接力傳遞後，1970年在蘇聯大學生馬蒂亞謝維奇手中完成了最後一步：希爾伯特期望的一般算法是不存在的。這一否定解決是對古老算法概念進行精密探討而引出的深刻結果，被認為是20世紀重大的數學成果之一。解決問題過程中所得到的工具與結果對數理邏輯和數學發展都有極大影響。
隨著計算機的出現與計算機科學的迅猛發展，算法問題受到越來越多的關注。人們開始不但關心算法是否存在，同時注意：如果一個問題有算法，這個算法是否實際可行。由此又發展出遞歸論在計算機科學中的主要應用領域——計算複雜性理論。以“貨郎擔問題”為例：一個貨郎走遍n個鄉村，問哪種走法路線最短。若n＝31，則貨郎可走的路有30！條。即便用每秒運算萬億次的電子計算機，完成這一過程也需要上萬億年。由此可見，即使在計算機時代，我們仍然需要“有效算法”。尋求問題的有效算法是至關重要的，它正吸引著許多數學家從事這一研究。在這樣的實際背景下，迅速發展起來的許多數學方法，都具有鮮明的構造性特征。因此，直覺主義者構造性觀點的一方麵隨著計算機的廣泛使用得以複興。
近年來，遞歸論的方法還大量用於P和NP問題的研究。這一問題在現代數學中以與大量實際問題有關而著稱。2000年5月24日，美國麻州的Clay數學所宣布7個“千禧年數學難題”，每1個懸賞100萬美元征解，其中第1個就是這一問題。至今，這一問題還遠沒有得到解決，並且各方麵的跡象都表明這是一個極其困難的問題，它已成為當今計算機數學中最重要的未解決問題之一。
三、模型論
模型論作為數理邏輯的一個分支，是研究形式係統及其解釋（模型）之間關係的理論。
如前麵所介紹的，用模型來研究數學理論可追溯到非歐幾何學的無矛盾性證明。當時就是通過建立歐氏幾何模型，從而證明了非歐幾何相對於歐氏幾何的無矛盾性。隨著證明論的創立和發展，對形式係統研究的不斷深入，許多問題要依賴於模型來研究。例如可用各種模型來論證一組（形式）語句的無矛盾性，也可用模型來論證一語句對一組語句的獨立性等。因而形式語言與其解釋之間的關係問題日益受到重視，成為重要的研究對象。最早的模型論研究始於20世紀20年代，在30年代有所發展。到1950年左右，模型論正式成為一門新的學科。在模型論中，構造模型是一個重要課題，研究者采用了許多獨特的構模方法和工具。
模型論的研究結果，被應用於許多數學分支，顯示出模型論的威力與價值。特別富有意味的是它在分析方麵的應用。美國數理邏輯學家A·羅賓遜（1918～1974）在1960年用模型論構建出非標準分析，並於1961年1月在美國數學大會上宣布了他的研究。他證明，無窮小作為真正的數學對象是存在的，並且可以沿另一途徑嚴格地建立微積分的基礎！這一新理論帶給人們的“革命”信息是：無窮小“複活”了。