17世紀下半葉，牛頓、萊布尼茲在無窮小量概念基礎上創立微積分學，因對無窮小量的解釋含糊不清，出現了貝克萊悖論，導致了數學史上的“第二次數學危機”。隨著19世紀，柯西、維爾斯特拉斯等人引入極限論、實數論，使微積分理論嚴格化，從而避免了貝克萊悖論，圓滿解決了第二次數學危機。與此同時，極限方法代替了無限小量方法。無窮小量被排斥在數學殿堂之外了。
而羅賓遜的研究指出：現代數理邏輯的概念和方法能為“無限小”、“無限大”作為“數”進入微積分提供合適的框架，因而使無窮小量堂而皇之地重返數學舞台，成為邏輯上站得住腳的數學中的一員。
羅賓遜的基本想法是：無窮小在實數係中沒有它的位置，但我們能否把實數係擴大，使之成為新數係，而在新的擴展後的數係中為無窮小留下存在空間呢？羅賓遜用模型論的方法做到了這一點。與實數的標準模型相比，羅賓遜實數的非標準模型最大的不同在於：實數係統滿足我們以前提到的阿基米德公理，也就是任取正數α和β，一定存在自然數n，使nα>β。但在擴展後的新數係中這一公理不再成立，比如無窮小在羅賓遜的實數非標準模型中，被定義為大於零，但卻比任何正數小的值。它的一千倍，一萬倍、一億倍，簡單說任何自然數倍仍是無窮小，絕不會大於任何一個正標準實數，這稱為非阿基米德性質。
於是，在非標準分析裏建立的超實數軸上，每一個點內有許多非標準實數，其間彼此相差無限小量，形成了一個有內部結構的點，稱為“單子”，每個單子隻有一個標準實數。單子內部的結構用類似顯微鏡的方法表示出來，其中的數仍可按大小順序展布在一個數軸上，這個數軸上的點還可繼續“放大”，用此方法，可清晰表現各階無窮小量之間的關係。高階無窮小量存在於單子內部，舍棄它並不影響單子之外實數之間的關係，於是微積分運算中舍棄無窮小項是完全合理的。由羅賓遜非標準分析為我們打開的這個新世界，倒恰合了佛家語：一粒沙塵內可以藏三千大千世界，可以有土地平曠，屋舍儼然。
1965年4月，羅賓遜寫了《非標準分析》一書，用無窮小重新建立了現代分析，使其思想廣為流傳。其後，非標準分析在分析、微分幾何學、代數幾何學、拓撲學等數學領域獲得一係列應用，發展為一整套非標準數學，並產生了越來越大的影響。
哥德爾曾評價說：“非標準分析不但常常能夠簡化初等定理的證明，而且對簡化艱深結構的證明也同樣有效。……我們有理由相信，不論從哪方麵看，非標準分析將會成為未來的數學分析……在未來世紀中，將要思量數學史中的一件大事，就是為什麼在發明微積分學後300年，第一個嚴格的無限小理論才發展起來。”
非標準分析能否如哥德爾所預言的那樣成為未來的數學分析，需要時間來做出最終判定。對我們而言，更有啟迪意義的是回顧微積分學發展的曆史：無窮小量由消失到複活；無窮小分析法—極限方法—無窮小分析法，否定之否定；“更合於發明家的藝術”的直觀無窮小方法由受質疑到在嚴格的數學基礎上恢複。然而，不管“無窮小量”概念重返數壇，還是17、18世紀直觀的無窮小論證的主要內容轉變為邏輯上嚴密的論證，又都是依據20世紀60年代的數學最新思想得到的——這一切裏麵確實包含著許許多多引人深思的韻味。
四、公理集合論
為消除集合論中的悖論，策梅羅等數學家建立了集合論公理係統，對此的研究引出了數理邏輯的重大成果。從20世紀30年代之後，公理集合論掀開了新的一頁，迎來了一個黃金時代，其中最引人注目的是連續統假設（CH）的進展。
康托爾在19世紀80年代提出這一問題，但未能找到解決問題的線索。1900年，希爾伯特在曆史性演講中向數學家提出的第一個問題就是“連續統假設”。他說：“康托爾關於這種集合的研究，提出了一個似乎很合理的定理，可是盡管經過堅持不懈的努力，還是沒有人能夠成功地證明這條定理……由這條定理，立即可以得出結論：連續統所具有的基數，緊接在可數集合的基數之後。所以，這一定理的證明，將在可數集合與連續統之間架起一座新的橋梁。”
這個問題在20世紀引起了全世界數學家的興趣，希爾伯特本人也曾經用了許多精力證明它。1925年，已經63歲、身患多種疾病的希爾伯特還提出了試圖證明連續統假設的大綱。1931年，哥德爾在完成了他的兩大貢獻以後，說“現在該輪到集合論了”。他從1935年起開始研究連續統假設及廣義連續統假設。
1938年，哥德爾證明從ZFC係統推不出CH的否定，即連續統假設與ZFC係統是相容的。哥德爾的結果在一段時間內，使人們抱有一種普遍希望：連續統假設能夠在ZF係統內獲得證明。
1963年7月，美國年輕數學家科恩發明了影響極為重大的力迫法，解決了相反的問題，他證明了從ZFC推不出CH，即連續統假設與ZFC係統是相對獨立的。
不過，科恩的證明不容易讀懂。這在現代數學中是經常的事情，因為現在許多證明都非常複雜，很難保證證明中不會出錯。所以，隻有一個證明在經過同行嚴格審查無誤後，才可以被確認。審查中發現錯誤也是經常的事情。有的錯誤小容易彌補，而有的漏洞可能比較大，如果無法補上，就意味著這一證明是無效的。我們前麵提到英國數學家懷爾斯證明了著名的費馬大定理。在他的證明被認可之前就出現了一幕悲喜劇。最初，各種媒體都公開報道他完成了證明。不幸的是，在審查中發現了一個不小的漏洞。值得慶幸的是，大約一年後，懷爾斯另辟新徑補上了這個漏洞，最後他的證明通過了同行們的審查。費馬大定理才最終宣布被攻克了。
科恩完成了證明後，並不能確信自己的證明。要知道這一證明正確與否他知道有一個辦法，於是科恩便來到普林斯頓敲響了哥德爾的家門。此時正在與妄想症鬥爭的哥德爾打開一條門縫，讓科恩的證明進去，科恩本人留在了外麵。兩天後，哥德爾邀請科恩到家喝茶，大師認可了科恩的證明。
綜合哥德爾和科恩的結果，就是連續統假設在ZFC中是不可判定的。即連續統假設與ZF係統的公理無關。這真出人意料之外。類似的情況還發生在集合論中另一重要公理“選擇公理”身上。因為，哥德爾、科恩在證明上麵連續統假設結論的同時也給出了選擇公理的相應結果。因此，選擇公理與連續統假設一樣，在ZF係統中都是不可判定的問題。這就是100多年以來，人們在選擇公理與連續統假設研究中獲得的主要結果。
在哥德爾於20世紀30年代宣布其不完全性定理後的年代，許多數學家都隻是迫於無奈接受了它。隨著公理方法的越來越成功，有一種信念在日益增長，即隻有那些非常特殊的命題才是不可證明的。哥德爾、科恩的結果摧毀了哥德爾定理不影響“實際”問題的舒適感覺，並且事情就發生在數學的最基本、最重要的部分——集合論中，發生在希爾伯特最急於解答的問題中。上麵也剛提到，20世紀70年代後，數學家還發現了數學中有經典的未解決問題是不可判定性的。哥德爾提出的“不完全性定理”終於在實際的場合探出了自己醜陋的頭。於是，以前那種認為隻要有足夠的時間和精力，任何“真正的”數學問題都能用這樣或那樣的方法獲得解決的希望徹底破滅了。除了正確的命題和錯誤的命題外，還有第三種不可判定類型的命題。這種命題既不是正確的也不是錯誤的。更糟糕的是，我們甚至沒有有效辦法去確定一個命題是否不可判定。因為，1936年美國一位邏輯學家證明了：對於包含自然數係統的任何相容的形式體係F，不存在有效的方法，決定F中的哪些命題在F中是可證的。
另一方麵，由於連續統假設和選擇公理對於ZF公理係統具有獨立性，於是人們可把連續統假設、選擇公理看做可以任意接受或拒絕的附加公理。接受還是拒絕？數學家麵臨選擇。其中最要緊的是對選擇公理的態度。
選擇公理有很多等價形式，而且用途太大，不能忽視，許多學科的基本定理少不了它。但這個應用極廣、看來正確的選擇公理，也可以證明出一些看來荒唐的結果。如著名波蘭數學家巴拿赫和塔爾斯基於1924年證明了巴拿赫塔爾斯基分球定理。它在直觀上等於說：任意一個球體都可以被分成有窮多份後重新組合成兩個與原來一樣大小的球體。這一結論是如此怪異並與人們的直覺相衝突，因此被稱為巴拿赫塔爾斯基悖論。
每種選擇都會導致一些無法控製的後果，這種選擇困難使數學家在數學基礎研究中陷入了新的困境。
問題還在於無論如何選擇都意味著集合論可以有許多發展方向，而在集合論基礎上建構數學，人們就有了多種不同的做法。這表明，人們可以構造出多種數學！
這就是第三次數學危機解決後，遺留給數學家們的一些令人困惑的問題。數學的確定性是否因此而喪失了呢？數學的真理性是否已經劃上問號了呢？這是否證明了已有數學的不可靠性？第三次數學危機表麵解決了，還是實質上以更深刻的其他形式延續著？
與20世紀前30年不同，數學家們對於這些數學基礎問題已經沒有了爭論的熱情與興趣。而且，總的來說，數學家們的樂觀又回來了。因而，我們還是留下一個光明的尾巴：
現在普遍的看法是，現行的公理集合論，如ZF係統和BG係統，已經為數學的研究提供了一個合適的基礎，因為這些理論的基本原則是為一般數學家所幾乎一致接受的，而且，所有已知的悖論在其中都已得到排除。再者，在理論係統中至今並沒有發現新的悖論。
進一步的研究表明，數學活動的真正領域，無論是分析或幾何，都沒有直接受到悖論的影響。悖論隻是出現於那些特別一般的領域，而這遠遠超出了實際使用這些學科的概念的領域。因此，所謂“危機”隻是一個“曆史現象”，而實際上早已不再存在。與此相反，現在為人們所普遍接受的是關於數學的堅定信念。人們具有一定的數學知識，這些知識是可靠的，是已經獲得證實的真理。
看到現代無論是純粹數學還是應用數學都正在以一瀉千裏之勢向前飛速發展，我們或許有理由接受這種樂觀。