第一章趣味數學知識3
虛數
“虛數”這個名詞，聽起來好像“虛”，實際上卻非常“實”。
虛數是在解方程時產生的。求解方程時，常常需要將數開平方。如果被開方數不是負數，可以算出要求的根；如果是負數怎麼辦呢?
譬如，方程x2+1=0，則x2=-1，x=±-1。那麼-1有沒有意義呢?在很久之前，大多數數學家認為負數沒有平方根。到了16世紀中葉，意大利數學家卡爾丹發表了《大法》這一數學著作，介紹了三次方程的求根公式。他不僅討論了正根和負根，還討論了虛數根。如解x3-15x+4=0這一方程時，依據他的求根公式，會得到：
x=-2+-121其中-121就是負數的平方根。卡爾丹寫出了負數的平方根，但他認為這也僅僅是形式表示而已。說明他對負數平方根的性質並不了解。1637年，法國數學家笛卡爾開始用“實數”、“虛數”兩個名詞。1777年，瑞士數學家歐拉開始用符號i=-1表示虛數的單位。而後人將實數和虛數結合起來，寫成a+bi形式(a、b為實數)，稱為複數。
由於虛數闖進數學領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎也沒有用複數來表達的量，因此，在很長一段時間裏，人們對虛數產生了種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數”的本意是指它是虛假的；萊布尼茲在公元18世紀初則認為：“虛數是美妙而奇異的神秘隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物”。歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說一切形如-1、-2的數學式都是不可能有的，純屬虛幻的。
歐拉之後，挪威一個測量學家維塞爾，提出把複數a+bi用平麵上的點(a，b)來表示。後來，高斯提出了複平麵的概念，終於使複數有了立足之地，也為複數的應用開辟了道路。現在，複數一般用來表示向量(有方向的數量)，這在水力學、地圖學、航空學中的應用是十分廣泛的。虛數越來越顯示出其豐富的內容，真是：虛數不虛!
無限大與無限小
人們一般碰到的數，無論是實數還是複數，都有確定的量值，換句話說是有限的。這反映了我們通常碰到的事物是有限的，總可以用這些數計量。
人類的長期的認識過程中，又逐漸產生兩個新的概念。最早的時候，人們將整個宇宙理解為地球，航海學的測量又測得地球半徑為6370千米，對人們來說，那是一個非常大的數。16世紀，哥白尼的“日心說”又將宇宙擴大到以太陽為中心的太陽係，太陽係的半徑為60億千米，約是地球半徑的94萬倍，地球與之相比隻是滄海一粟了。18世紀，人們的視野擴展到銀河係，銀河係的直徑相當於93312×1017千米，這個數字更是大得驚人。隨著科學技術的發展，人們借助射電望遠鏡，又將宇宙範圍擴展到星係團、超星係團，以至總星係。這些星係的半徑都在數百萬光年(光年即光走一年的路程，約93312×1017千米)以上，這個數字簡直是無法把握的。總星係之上當然還有更大的宇宙，永遠不會窮盡。這樣就出現了無限大的概念，數學上記為∞。它的含義是比任何數都大的數，這個數當然是虛擬的，不是一個確定的數。
在微觀世界，人類的認識也從分子認識到原子，從原子認識到原子核。原子核的直徑約10-13厘米，原子核還可以分解為質子、中子，它們的直徑更小。這一分解過程也可以無窮盡地進行下去。這樣就帶來了無限小的概念。
無限大、無限小的含義已經涉及數的變化趨勢了，這是從確定量到變量的過渡中產生的數，是微積分的基礎。
將循環小數化成分數
將循環小數化成分數，是解決有關循環小數的基本方法。怎樣才能將循環小數化成分數呢?這要請我們的老朋友——9來幫助解決問題。我們知道，在數列計算中，有一個無窮等比數列的求和公式s＝a1-q。其中a是這個數列的第一項，q是公比。下麵要用這個公式來研究化循環小數為分數的方法。先觀察下麵兩個循環小數：0666……＝06，0242424……＝024。它們都是從小數點後的第一位開始循環的，叫做純循環小數。為了便於計算，先將它們寫成分數的和的形式：
0666……＝06+006+0006+……
＝610+6100+61000+610000+……
0242424……＝024+00024+0000024+……
＝24100+241000+241000000+……
這就變成了無窮遞縮等比數列的形式。06666……的公比是110，而0242424……的公比是1100。根據求和公式得：
066……＝6101-110＝６10-1＝69，
02424……＝241001-1100＝24100-1＝2499。
由此可以看出，要把純循環小數化為分數，隻要把一個循環節的數化為分子，讓分母由9組成，循環節有幾位數字，分母是幾個9就行了。例如：
04444……＝04＝49
05656……＝056＝5699，
031233123……＝03123＝31239999＝3471111。
下麵再來看看以下兩個循環小數：
02888……＝028，03545454……＝0354它們都不是從小數點的第一位開始循環的，這叫混循環小數。用分數的和可表示為：
02888……＝210+8100+81000+810000+……
035454……＝310+541000+54100000+……
這種和的形式，從第二項起，構成了一個分別以110，1100為公比的無窮遞縮等比數列。由求和公式得：
02888……＝210+81001-110＝210+8100-10＝210+890＝2×9+890＝2690＝1345。
035454……＝310+5410001-1100＝310+541000-10＝310+54990＝3×99+54990＝351990＝39110。
由此可以看出：把混循環小數化為分數，先去掉小數點，再用第二個循環節以前的數字減去不循環部分的數字，將得到的差作為分子；分母由9和0組成，9的個數等於一個循環節的位數，9的後麵寫0，0的個數等於不循環部分的位數。例如：
02777……＝027＝27-290＝2590＝518。
031252525……＝03125＝3125-319900＝15474950。
數學的變化雖是無窮的，在研究了大量的現象或大量的例題後，應學會從特殊的問題中，總結出一般規律的思考方法。這種由特殊情況歸納出一般情況的方法稱為經驗歸納法。
邏輯體係的奇跡
公元前3世紀時，最著名的數學中心是亞曆山大城；在亞曆山大城，最著名的數學家是歐幾裏得。
歐幾裏得知識淵博，數學造詣精湛，尤其擅長於幾何證明。連當時的國王也經常向他請教數學問題。有一次，國王做一道幾何證明題，接連做了許多天都沒有做出來，就問歐幾裏得，能不能把幾何證明搞得稍微簡單一些。歐幾裏得認為國王想投機取巧，於是不客氣地回答說：“陛下，幾何學裏可沒有專門為您開辟的大道!”這句話長久地流傳下來，許多人把它當做學習幾何的箴言。
在數學上，歐幾裏得最大的貢獻是編了一本書。當然，僅憑這一本書，就足以使他獲得很高的聲譽。
這本書，也就是震爍古今的數學巨著《幾何原本》。
為了編好這本書，歐幾裏得創造了一種巧妙的陳述方式。一開頭，他介紹了所有的定義，讓大家一翻開書，就知道書中的每個概念是什麼意思。例如，什麼叫做點?書中說：“點是沒有部分的。”什麼叫做線?書中說：“線有長度但沒有寬度。”這樣一來，大家就不會對書中的概述產生歧義了。
接下來，歐幾裏得提出了5個公理和5個公設：
公理1與同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。