公理2等量加等量，總量仍相等。
公理3等量減等量，總量仍相等。
公理4彼此重合的東西彼此是相等的。
公理5整體大於部分。
公設1從任意的一個點到另外一個點作一條直線是可能是。
公設2把有限的直線不斷延長是可能的。
公設3以任一點為圓心和任一距離為半徑作一圓是可能的。
公設4所有的直角都相等。
公設5如果一直線與兩直線相交，且同側所交兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的一點。
在現在看來，公理與公設實際上是一回事，它們都是最基本的數學結論。公理的正確性是毋庸置疑的，因為它們都經過了長期實踐的反複檢驗。而且，除了第5公設以外，其他公理的正確性幾乎是“一目了然”的。想想看，你能找出一個例子，說明這些公理不正確嗎?
這些公理是幹什麼用的?歐幾裏得把它們作為數學推理的基礎。他想，既然誰也無法否認公理的正確性，那麼，用它們作理論依據去證明數學定理，隻要證明的過程不出差錯，定理的正確性也是理論證據，卻能推導出新的數學定理來。這樣，就可以用一根邏輯的鏈條，把所有的定理都串聯起來，讓每一個環節都銜接得絲絲入扣，無懈可擊。
在《幾何原本》裏，歐幾裏得用這種方式，有條不紊地證明了467個重要的數學定理。
從此，古希臘豐富的幾何學知識，形成了一個邏輯嚴謹的科學體係。
這是一個奇跡!2000多年後，大科學家愛因斯坦仍然懷著深深的敬意稱讚說：這是“世界第一次目睹了一個邏輯體係的奇跡”。
尺規作圖拾趣
希臘是奧林匹克運動的發源地。奧運會上的每一個競賽項目，對運動器械都有明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰“更快、更高、更強”。一些古希臘人認為，幾何作圖也應像體育競賽一樣，對作圖工作作一番明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰的邏輯思維能力更強。
應該怎樣限製幾何作圖工具呢?他們認為，幾何圖形都是由直線和圓組成的，有了直尺和圓規，就能作出這兩樣圖形，不需要再添加其他的工具。於是規定在幾何作圖時，隻準許使用圓規和沒有刻度的直尺，並且規定隻準許使用有限次。
由於有了這樣一個規定，一些普普通通的幾何作圖題，頃刻間身價百倍，萬眾矚目，有不少題目甚至讓西方數學家苦苦思索了2000多年。
尺規作圖特有的魅力，使無數的人沉湎其中，樂而忘返。連拿破侖這樣一位威震歐洲的風雲人物，在轉戰南北的餘暇，也常常沉醉於尺規作圖的樂趣中。有一次，他還編了一道尺規作圖題，向全法國數學家挑戰呢。
拿破侖出的題目是：“隻準許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分。”
由於圓心O是已知的，求出這個題目的答案並不難。
我們可以在圓周上任意選一點A，用圓規量出OA的長度，然後以A點為圓心畫弧，得到B點；再以B點為圓心畫弧，得到C點；再以C點為圓心畫弧，得到D點。這時，用圓規量出AC的長度，再分別以A點和D點為圓心畫兩條弧，得到交點M。接下來，隻要用圓規量出OM的長度，逐一在圓周上劃分，就可以把圓周4等分了。
如果再增添一把直尺，將這些4等分點連接起來，就可以得到一個正4邊形。由此不難看出，等分圓周與作正多邊形實際上是一回事。
隻使用直尺和圓規，怎樣作出一個正5邊形和正6邊形呢?
這兩個題目都很容易解答，有興趣的讀者不妨試一試。
不過，隻使用直尺和圓規，要作出正7邊形可就不那麼容易了。別看由6到7，僅僅隻增加了一條邊，卻一躍成為古代幾何的四大名題之一。尺規作圖題就是這樣變化莫測。
這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策。後來，大數學家阿基米德發現了前人之所以全都失敗了的原因：正7邊形是不能由尺規作出的。阿基米德從理論上嚴格證明了這一結論。
那麼，采用尺規作圖法，究竟有哪些正多邊形作得出來，有哪些作不出來呢?
有人猜測：如果正多邊形的邊數是大於5的質數，這種正多邊形就一定作不出來。
17是一個比5大的質數，按上麵這種說法，正17邊形是一定作不出來的。在過去的2000年裏，確實有許多數學家試圖作出正17邊形，但無一不遭受失敗。豈料在1796年，18歲的大學生高斯居然用尺規作出了一個正17邊形，頓時震動了整個歐洲數學界。
這件事也深深震動了高斯，使他充分意識到自己的數學能力，從此決心獻身於數學研究，後來終於成為一代數學大師。
高斯還發明了一個判別法則，指出什麼樣的正多邊形能由尺規作出，什麼樣的正多邊形則不能，圓滿地解決了正多邊形的可能性問題。高斯的判別法則表明，能夠由尺規作出的正多邊形是很少的，例如，在邊數是100以內的正多邊形中，能夠由尺規作出的隻有24種。
有趣的是，正7邊形的邊數雖少，卻不能由尺規作出；而正257邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832年，數學家黎克洛根據高斯指出的原則，解決了正257邊形的作圖問題。他的作圖步驟極其繁瑣，寫滿了80頁紙，創造了一項“世界紀錄”。
不久，德國人赫爾梅斯又刷新了這個紀錄。他費了10年功夫，解決了正65537邊形的作圖問題。這是世界上最繁瑣的尺規作圖題。據說，赫爾梅斯手稿可以裝滿整整一手提箱呢!
有形狀的數
畢達哥拉斯不僅知道奇數、偶數、質數、合數，還把自然數分成了親和數、虧數、完全數等等。他分類的方法很奇特，其中，最有趣的是“形數”。
什麼是形數呢？畢達哥拉斯研究數的概念時，喜歡把數描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，於是就產生一係列的形數。
畢達哥拉斯發現，當小石子的數目是1、3、6、10等數時，小石子都能擺成正三角形，他把這些數叫做三角形數；當小石子的數目是1、4、9、16等數時，小石子都能擺成正方形，他把這些數叫做正方形數；當小石子的數目是1、5、12、22等數時，小石子都能擺成正五邊形，他把這些數叫做五邊形數……
這樣一來，抽象的自然數就有了生動的形象，尋找它們之間的規律也就容易多了。不難看出，頭四個三角形數都是一些連續自然數的和。瞧，3是第二個三角形數，它等於1＋2；6是第三個三角形數，它等於1＋2＋3；10是第四個三角形數，它等於1＋2＋3＋4。
看到這裏，人們很自然地就會生發出一個猜想：第五個三角形數應該等於1＋2＋3＋4＋5，第六個三角形數應該等於1＋2＋3＋4＋5＋6，第七個三角形數應該等於……
這個猜想對不對呢？
由於自然數有了“形狀”，驗證這個猜想費不了什麼事。隻要拿15個或者21個小石子出來擺一下，很快就會發現：它們都能擺成正三角形，都是三角形數，而且正好就是第五個和第六個三角形數。
就這樣，畢達哥拉斯借助生動的幾何直觀，很快就發現了自然數的一個規律：連續自然數的和都是三角形數。如果用字母n表示最後一個加數，那麼1＋2＋…＋n的和也是一個三角形數，而且正好就是第n個三角形數。
畢達哥拉斯還發現，第n個正方形數等於n2，第n個五邊形數等於n（3n－1）／2，第n個六邊形數等於2n（n－1）……根據這些規律，人們就可以寫出很多很多的形數。
不過，畢達哥拉斯並不因此而滿足。譬如三角形數，需要一個數一個數地相加，才能算出一個新的三角形數，畢達哥拉斯認為這太麻煩了，於是著手去尋找一種簡捷的計算方法。經過深入探索自然數的內在規律，他又發現，
1＋2＋……＋n＝12×n×（n＋1）
這是一個重要的數學公式，有了它，計算連續自然數的和可就方便多了。例如，要計算一堆電線杆數目，用不著一一去數，隻要知道它有多少層就行了。如果它有7層，隻要用7代替公式中的n，就能算出這堆電線杆的數目。