1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝12×7×（7＋1）＝28（根）
就這樣，畢達哥拉斯借助生動的幾何直觀，發現了許多有趣的數學定理。而且，這些定理都能以純幾何的方法來證明。
例如，在一些正方形數裏，左上角第一個框內的數是1，它是1的平方；第二框內由1＋3組成，共有4個小石子，它是2的平方；第三個框內由1＋3＋5組成，共有9個小石子，它是3的平方。……由此不難看出，隻要在正方形數上作些記號，就能令人信服地說明一個數學定理：“從1開始，任何個相繼的奇數之和是完全平方。”即
1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n2
費爾馬小定理
17世紀時，有個法國律師叫費爾馬。他非常喜歡數學，常常利用業餘時間研究高深的數學問題，結果取得了很大的成就，被人稱為“業餘數學家之王”。
費爾馬研究數學時，不喜歡搞證明，喜歡提問題。他憑借豐富的想象力和深刻的洞察力，提出了一係列重要的數學猜想，深刻地影響了數學的發展。他提出了“費爾馬大定理”，幾百年來吸引了無數的數學家，是一個至今尚未完全解決的著名數學難題。
費爾馬最喜歡的數學分支是數論。他曾深入研究過質數的性質。1640年，他發現了一個有趣的現象：
當n＝1時，22n＋1＝221＋1＝5；
當n＝2時，22n＋1＝222＋1＝17；
當n＝3時，22n＋1＝223＋1＝257；
當n＝4時，22n＋1＝224＋1＝65537；
費爾馬沒有繼續算下去，他猜測說：隻要n是自然數，由這個公式算出的數一定都是質數。
這是一個很有名的猜想。由於演算起來很麻煩，很少有人去驗證它。1732年，大數學家歐拉認真研究了這個問題。他發現，費爾馬隻要往下演算一個自然數，就會發現由這個公式算出的數不全是質數。
n＝5時，22n＋1＝225＋1＝4294967297，
4294967297可以分解成641×6700417，它不是質數。也就是說，費爾馬的這個猜想不能成為一個求質數的公式。
實際上，幾千年來，數學家們一直在尋找這樣一個公式，一個能求出所有質數的公式。但直到現在，誰也未能找到這樣一個公式。而且誰也未能找到證據，說這樣的公式就一定不存在。這樣的公式究竟存在不存在，也就成了一個著名的數學難題。
費爾馬有心找出一個求質數的公式，結果未能成功，人們發現，倒是他無意提出的另一個猜想，對尋找質數很有用處。
費爾馬猜測說：如果P是一個質數，那麼，對於任何自然數n，np－n一定能夠被P整除。這一回，費爾馬猜對了。這個猜想被人稱做費爾馬小定理。例如11是質數，2是自然數，所以211－2一定能被11整除。
如果反過來問：若n能夠整除2n－2，n是否一定就是質數呢？
答案是否定的。但人們發現，由這個公式算出的數絕大多數是質數。有人統計過，在1010以內，隻要n能整除（2n－2），則n有999967％的可能是質數。這樣，隻要能剔除為數極少的冒牌質數，鑒定一個數是不是質數也就不難了。
利用費爾馬小定理，這是目前最有效的鑒定質數的方法。要判斷一個數的n是不是質數，首先看它能不能被（2n－2）整除，如果不能整除，它一定是合數；如果能整除，它就極有可能是質數。有消息說，在電子計算機上運用這種新方法，要鑒定一個上百位的數是不是質數，一般隻要15秒鍾就夠了。
破碎的數
在拉丁文裏，分數一詞源於frangere，是打破、斷裂的意思，因此分數也曾被人叫做是“破碎數”。
在數的曆史上，分數幾乎與自然數同樣古老，在各個民族最古老的文獻裏，都能找到有關數的記載，然而，分數在數學中傳播並獲得自己的地位，卻用了幾千年的時間。
在歐洲，這些“破碎數”曾經令人談虎色變，視為畏途。7世紀時，有個數學家算出了一道8個分數相加的習題，竟被認為是幹了一件了不起的大事情。在很長的一段時間裏，歐洲數學家在編寫算術課本時，不得不把分數的運算法則單獨敘述，因為許多學生遇到分數後，就會心灰意懶，不願意繼續學習數學了。直到17世紀，歐洲的許多學校還不得不派最好的教師去講授分數知識。以致到現在，德國人形容某個人陷入困境時，還常常引用一句古老的諺語，說他“掉進分數裏去了”。
一些古希臘數學家幹脆不承認分數，把分數叫做“整數的比”。
古埃及人更奇特。他們表示分數時，一般是在自然數上麵加一個小圓點。在5上麵加一個小圓點，表示這個數是1／5；在7上麵加一個小圓點，表示這個數是1／7。那麼，要表示分數2／7怎麼辦呢？古埃及人把1／4和1／28擺在一起，說這就是2／7。
1／4和1／28怎麼能夠表示2／7呢？原來，古埃及人隻使用單分子分數。也就是說，他們隻使用分子為1的那些分數，遇到其他的分數，都得拆成單分子分數的和。1／4和1／28都是單分子分數，它們的和正好是2／7，於是就用14+128來表示2／7。那時還沒有加號，相加的意思要由上下文顯示出來，看上去就像把1／4和1／28擺在一起表示了分數2／7。
由於有了這種奇特的規定，古埃及的分數運算顯得特別繁瑣。例如，要計算5／7與5／21的和，首先得把這兩個分數都拆成單分子分數：
57+521＝(12+17+114)+(17+114+142)；
然後再把分母相同的分數加起來：
12+27+214+142；
由於算式中出現了一般分數，接下來又得把它們拆成單分子分數：
12+14+17+128+142。
這樣一道簡單的分數加法題，古埃及人算起來都這麼費事，如果遇上複雜的分數運算，他們算起來又該是何等的吃力。
在西方，分數理論的發展出奇地緩慢，直到16世紀，西方的數學家們才對分數有了比較係統的認識。甚至到了17世紀，數學家科克在計算35+78+910+1220時，還用分母的乘積8000作為公分母！
而這些知識，我國數學家在2000多年前就都已知道了。
我國現在尚能見到最早的一部數學著作，刻在漢朝初期的一批竹簡上，名字叫《算數書》。它是1984年初在湖北省江陵縣出土的。在這本書裏，已經對分數運算作了深入的研究。
稍晚些時候，在我國古代數學名著《九章算術》裏，已經在世界上首次係統地研究了分數。書中將分數的加法叫做“合分”，減法叫做“減分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“經分”，並結合大量例題，詳細介紹了它們的運算法則，以及分數的通分、約分、化帶分數為假分數的方法步驟。尤其令人自豪的是，我國古代數學家發明的這些方法步驟，已與現代的方法步驟大體相同了。
例如：“又有九十一分之四十九，問約之為幾何？”書中介紹的方法是：從91中減去49，得42；從49中減去42，得7；從42中連續減去7，到第5次時得7，這時被減數與減數相等，7就是最大的公約數。用7去約分子、分母，那就得到了49／91的最簡分數7／13。不難看出，現在常用的輾轉相除法，正是由這種古老的方法演變而來。
公元263年，我國數學家劉徽注釋《九章算術》時，又補充了一條法則：分數除法就是將除數的分子、分母顛倒與被除數相乘。而歐洲直到1489年，才由維特曼提出相似的法則，已比劉徽晚了1200多年！
蘇聯數學史專家鮑爾加爾斯基公正地評價說：“從這個簡短的論述中可以得出結論：在人類文化發展的初期，中國的數學遠遠領先於世界其他各國。”