（5＋-15）＋（5－-15）＝10，
（5＋-15）×（5－-15）＝40，
這兩個怪東西正好是題目要求的數！
從這個意義上說，這兩個怪東西應該是一種數。可是，這是一種什麼樣的數呢？卡當沒有弄清楚，17世紀的數學家們，也沒有弄清楚。他們覺得這種數不像其他的數那樣“實在”，有一種虛無縹緲的味道，於是就起了個名字叫“虛數”。
盡管虛數有了數的名稱，許多數學家仍然拒絕承認它。例如大數學家牛頓就曾嚴厲指責虛數缺乏“實在”的物理意義。大數學家萊布尼茲更有趣，他說：虛數是“理想世界的奇異創造”，是一個“介於存在與不存在之間的兩棲物”。
18世紀下半葉，大數學家歐拉最先用i這個記號來表示虛數單位，例如，-1可以記作i，-15可以記作15i。但是，歐拉也沒有弄清虛數到底是個什麼東西。他說：“一切形如-1、-2的數學式，都是不可能有的、想象的數，……它們既不是什麼都是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼。它們純屬虛構。”
其實，虛數並不是虛構的數，其中的秘密，數學家們直到19世紀才弄清楚。有人用平麵上的點來表示虛數，對虛數的性質作出了合理的解釋，虛數也就逐漸為大家所接受。在現在高中課本裏，對虛數的性質作了詳細的敘述，到時候，讀者們自會去做一番探幽攬勝的巡遊，這裏就不多加介紹了。
需要指出的是，有了虛數之後，整個數係也就完備了。除了0不能作分母以外，任何兩個數都可以相加、相減、相乘、相除，以及乘方和開方了。
度天下之方圓
有一個氣魄宏偉的動人故事，叫大禹治水。
故事發生在遙遠的公元前21世紀，那時，我國的黃河流域經常“洪水滔天”。洪水吞沒田園，衝毀房舍，使人們流離失所。於是，各個部落的人們團結起來，與大自然展開了一場艱苦卓絕的鬥爭。
起初，這場鬥爭由大禹的父親鯀來指揮。鯀一心想把事情辦好，但采用的方法不對，他一味強調，“水來土掩”，哪裏有洪水就派人到哪裏去堵，結果越堵水患越嚴重。
鯀治水失敗後，大禹挺身而出，擔負起領導治水的重任。他認為要製服水患，就必須因勢利導，根據河流的走勢宣泄水流。為了規劃出一套正確的治水方案，大禹不辭辛勞地跋山涉水，實地勘察山川形勢。他三過家門而不入，領導人們開山劈嶺，疏浚河道，廣修溝渠，奮戰12年，終於“開九州，通九道”，製服了水患，譜寫了一曲人定勝天的凱歌。
不具備相當的數學知識，就很難完成這項規模巨大的工程。所以，史書在記載大禹治水的動人事跡時，都沒有忘記加上一句，大禹“左準繩，右規矩”。意思是大禹隨身攜帶著規、矩這兩樣測量工具。
規矩是什麼樣的奇妙工具？竟能用來“望山川之形，定高下之勢”，在改造大自然的鬥爭中大建奇功？
在山東省嘉祥縣一座古代建築的石室造像中，依稀可見規矩的模樣。圖中有兩位古代神話中我們遠古祖先的形象，一位叫伏羲，一位叫女媧。伏羲手中的物體就是規，它呈兩腳狀，與現在的圓規相似；女媧手中的物體叫做矩，它呈直角拐尺形。
原來，規就是畫圓用的圓規，矩就是折成直角的曲尺。矩由長短兩把尺合成，短尺叫勾，長尺叫股，可以用來畫直線或者作直角。
公元前11世紀，有位叫商高的古代數學家，曾詳細介紹了用矩的方法。他說：
“把矩平放在地上，可以定出繩子的垂直；把矩豎立起來，可以測量物體的高度；把矩倒立過來，可以測量物體的深度；把矩平臥在地上，可以測量兩地之間的距離。矩旋轉一周，就形成了一個圓形，兩個矩合攏起來，就形成了一個方形。
“知天文識地理的人是很有學問的，而這種學問就來自勾股測量，勾股測量又依賴於矩的應用。矩與數結合起來，就可以設計和製作天下的萬物。”
瞧，矩的用途是多麼廣泛和靈活，我們的祖先又將它運用得多麼出神入化啊。
規矩究竟發明於何時，已經很難考察了，但它們起源於極遙遠的古代，卻是毋庸置疑的。在我國最早的文字甲骨文中，已有了規、矩這兩個字，其中的規字，就很像手執圓規畫圓的樣子。到了春秋戰國時期，書中關於規矩的論述更是多得不勝枚舉。墨子說過：造車的工匠“執其規矩，以度天下之方圓”；孟子說過：即使是離婁那樣眼光銳利的人，即使是魯班那樣心靈手巧的工匠，“不以規矩，不能成方圓”。可見至少從那時起，規與矩的應用在我國民間已經很普遍了。
測算地球周長
公元前3世紀，有位古希臘數學家叫埃拉托斯芬。他才智高超，多才多藝，在天文、地理、機械、曆史和哲學等領域裏，也都有很精湛的造詣，甚至還是一位不錯的詩人和出色的運動員。
人們公認埃拉托斯芬是一個罕見的奇才，稱讚他在當時所有的知識領域都有重要貢獻，但又認為，他在任何一個領域裏都不是最傑出的，總是排在第二位，於是送他一個外號“貝塔”。意思是第二號。