第三章趣味數學之謎2
升官題
傳說唐代尚書楊損，廉潔奉公，任人唯賢。有一次，要在兩名小吏中提升一人，主管提升工作的官員感到很難決斷，便請示楊損。楊損認為，作為一個官員，不僅要有高尚的品德，還要有一定的文化水平。於是，他說：“一個官員應具備的一大技能是速算。讓我出題來考考他們，誰算得快就提升誰。”楊損出了一道題：
“有人在林中散步，無意中聽到幾個強盜在商討如何分贓。他們說，如果每人分６匹布，則餘５匹；每人分７匹布，則缺少８匹。試問共有幾個強盜幾匹布？”兩個小吏聽過題目後，便用籌算解聯立一次方程組。後來，先得出正確結果的小吏果真升了官，大家心服口服。
這個故事反映出我國古代人民對於解聯立一次方程組的熟練程度。事實上，在２０００多年前的《九章算術》中，已係統地敘述了聯立一次方程組的解法，這是中國古代數學的傑出貢獻之一。
《九章算術》是我國至今有傳本的一部經典數學著作，內容極為豐富，它幾乎集中了過去和當時的全部數學知識，將２４６個問題分為九章，所以叫做《九章算術》。
《九章算術》不是出自某一個人的手筆，不是一個時代的作品。它是經過曆代名家的修訂和增補，才逐漸成為定本的。它成書於何時，目前學術界尚無統一結論，據推測起碼在公元１世紀之前。《九章算術》對我國以及一些外國的數學發展有很大影響，直到１６世紀我國的數學著作大都還是受它的體例影響。
一元一次方程問題在古埃及時已經出現。巴比倫人已經知道某些特殊的二次、三次方程的解法，例如：兩個正方形麵積之和是１０００，其中一個邊長是另一個邊長的23少１０，問各長多少？這相當於解聯立方程
x2+y2=1000,y=12x-10。
當時實際的解隻是由觀察某些簡單的數字關係而得到答案。
《九章算術》的第８章“方程”，給出了聯立一次方程組的普遍解法，並且使用了負數，這在數學史上具有非常重要的意義。
我國古代是用算籌來運算的，未知數不用符號表示，隻是將各個係數用算籌依次布列成方陣的形式。“程”是變量的總名，也有計量、考核、程式的意思。“方程”的名稱，就來源於此。
《九章算術》第８章的第１題為：
“今有上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？
“禾”指黍米，一“秉”即一捆，“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥”就是說：三捆上等黍米，兩捆中等黍米，一捆下等黍米，一共可打出黍米穀３９鬥。
設上、中、下禾，每捆各出穀ｘ、ｙ、ｚ鬥，則用現代的方程來表達，可得
3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=26。
在《九章算術》中列出的方程形式為：
在方程中隻能看到係數，看不到未知數，文字采用直排，而且閱讀時是從右到左的。由於這種方程中，未知數不用符號表示出來，實際上就是現代的分離係數法。書中給出的解法是聯立一次方程組的普遍解法。除了符號、名詞和計算工具不同外，和現代使用的消元法實質一樣。
第８章中還有四元及五元的方程組，也是用類似的方法來解的。
在國外，線性方程組的完整解法，直到１７世紀末才由微積分的發明人萊布尼茨著手擬定。可見，從時間上來說，《九章算術》的解法實是在世界數學史上一大光輝成就，值得中國人自豪！
自從《九章算術》提出了多元一次聯立方程後，多少世紀沒有顯著的進步。賈憲、秦九韶、李治等人曾研究過一元高次方程。元朝傑出數學家朱世傑集前人之大成，建立了四元高次方程組理論，並稱為“四元術”。他用天元、地元、人元、物元表示四個未知數，相當於現在的ｘ、ｙ、ｚ、ｕ。朱世芝的《四元玉鑒》一書，舉例說明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例題相當複雜，數字驚人的龐大，不但過去從未有過，就是今天也很少見。可見朱世傑已經非常熟練地掌握了多元高次方程組的解法。
在外國，多元方程組雖然也偶然在古代的民族中出現過，例如巴比倫人借助數表處理過某種二元二次方程組，但較係統地研究卻遲至１６世紀，１５５９年，法國人彪特才開始用不同的字母Ａ，Ｂ，Ｃ……來表示不同的未知數。而過去不同未知數用同一符號來表示，以致含混不清。正式討論多元高次方程組已到１８世紀，由探究高次代數曲線的交點個數而引起。１７６４年，法國人培祖提出用消去法的解法，這已在朱世傑之後四五百年了。
懸而未決的費馬數
偉大的科學家同樣也會犯錯誤，科學史上這樣的事件屢見不鮮。被舉為“近代數論之父”、“業餘數學家之王”的17世紀法國數學家費馬就是其中一個，而且他所犯的錯誤又恰恰是在他最擅長的數論之中。
1640年，費馬發現：設Fn=22n+1，則當n=0，1，2，3，4時，Fn分別給出3，5，17，257，65537，都是素數。這種素數被稱為“費馬數”。由於F5太大（F5=4294967297）他沒有再進行驗證就直接猜測：對於一切自然數n，Fn都是素數。不幸的是，他猜錯了。1732年歐拉發現：F5=225+1=4294967297=614×6700417，偏偏是一個合數！1880年，又有人發現F6=226+1=27477×67280421310721，也是合數。
不僅如此，以後陸續發現F7，F8……直到F19以及許多n值很大的Fn全都是合數！雖然Fn的值隨著n值的增加，以極快的速度變大（例如1980年求出F8=1238926361552897×一個62位數），目前能判斷它是素數還是合數的也隻有幾十個，但人們驚奇地發現：除費馬當年給出的5個外，至今尚未發現新的素數。這一結果使人們反過來猜測：是否隻有有限個費馬數？是否除費馬給出的5個素數外，再也沒有了？可惜的是，這個問題至今還懸而未決，成了數學中的一個謎。
無法編成的目錄
瑞士數學家貢塞斯曾說過這樣一個故事：古老的亞曆山大圖書館裏，辛勤的學者卡裏馬楚斯正在埋頭編製圖書館珍藏的亞裏士多德學派著作目錄。
他編著編著，忽然放聲大哭，因為他感到無論怎樣也無法完成目錄的編製工作。事情是這樣的，他將所有書目分成兩類：第一類專收“自身列入的目錄”，意思是目錄中也列入這本目錄自身的名目。
比如《美學書目》，這本目錄收集的是這方麵的書目，如果翻開一看，還收有《美學書目》這本書的名稱，這就稱這目錄是“自身列入的書目”。第二類專收“自身不列入的目錄”，翻開這本目錄，找不到它自己的名目。比如《攝影作品目錄》中，就沒有《攝影作品目錄》這本書自己的名目。
卡裏馬楚斯編完第二類目錄，這本目錄是第二類書目的“總目”。但他一想到這部“自身不列入目標”的“總目”，其名目該不該收入這本《總目》本身時，就發現這是個無法解決的難題。
因為如果“總目”不列入《總目》，不但不成其為《總目》，而且正好使它成為一部“自身不列入的目錄”，就應列入。如果它自身列入的話，那就成為一部“自身列入的目錄”，就沒有資格列入自身。因而不列入自身，就必須列入自身；列入自身就不列入自身。無論列入或不列入，都不對，好像陷入了“魔地”，難怪學者卡裏馬楚斯也會放聲大哭呢！
韓信暗點兵
我國漢初軍事家韓信，神機妙算，百戰百勝。傳說在一次戰鬥前為了弄清敵方兵力，韓信化裝到敵營外偵察，隔著高大寨牆偷聽裏麵敵將正在指揮練兵。
隻聽得按3人一行整隊時最後剩零頭1人，按5人一行整隊時剩零頭2人，7人一行整隊時剩零頭3人，11人一行整隊時剩零頭1人。據此韓信很快算出敵兵有892人。於是針對敵情調兵遣將，一舉擊敗了敵兵。這就是流傳於民間的故事“韓信暗點兵”。
“韓信暗點兵”作為數學問題最早出現在我國的《孫子算經》中。原文是：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何子”
用現代話來說：“現在有一堆東西，不知它的數量。如果三個三個地數最後剩二個，五個五個地數最後剩三個，七個七個地數最後剩二個，問這一堆東西有多少個?”
該書給出的解法是：
N=70×2+21×3+15×2-2×105
這個解法巧妙之處在於70、21、15這三個數。
70可以被5和7整除，並且是用3除餘1的最小正整數，因此2×70被3除餘2；
21可以被3和7整除，並且是用5除餘1的最小正整數，因此3×21被5除餘3；
15可以被3和5整除，並且是用7除餘1的最小正整數，因此2×15被7除餘2。
這樣一來，70×2+21×3+15×2被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2。這個數大於100，容易算出3、5、7的最小公倍數是105。從這個數中減去兩倍的105，不會影響被3、5、7除所得的餘數。
N=70×2+21×3+15×2-2×105=23
仿照《孫子算經》中“物不知數”問題的解法，來算一算“韓信暗點兵”：N=385×1+231×2+330×3+210×1-1155