集合論的發展道路是很不平坦的。康托爾的集合論是數學上最具有革命性的理論。
客滿的旅館還能住客人嗎
有一個市鎮，隻有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，隻是房間數不是有限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。有一天開大會，所有房間都住滿了，後來來了一位客人，一定要住下來。旅館老板於是引用“旅館公理”說：“滿了就是滿了，非常對不起!”正好這時候，聰明的旅館老板女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：“這好辦，請每位顧客都搬一下，從這間房搬到下一間”。於是1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間……依此類推。最後1號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。
第二天，又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數無窮多位代表一定要住，這又把旅館老板難住了。老板的女兒再一次來解圍，她說：“您讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……K號房間客人搬到2K號……這樣，1號，3號，5號……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。”
這一天，這個代表團每位代表又出新花招，他們想每個人占可數無窮多間房安排他們的親朋好友，這回連老板的女兒也被難住了。聰明的女兒想了很久，終於想出了辦法。她把第一個客人的第一間房記做(1，1)，第二間房記做(1，2)，第K間房記作(1，K)……第二個客人的第一間房記作(2，1)，第二間房記做(2，2)……這樣就有一串兩個號碼的房間。現在把它按1，2，3，4……排好，按箭頭的順序排號：(1，1)住1號，(1，2)住2號，(2，1)住3號，(3，1)住4號，(2，2)住5號……問題不就又解決了嗎!
這個故事說明了無窮集合和有限集合的一個特點，即有限集合不能通過單映射映射到自己的真子集合，而無窮集合可以通過單映射映射到自己的真子集合。(單映射是指，設F是集合A到集合B的映射，對B中的一個象，它在A中隻有唯一元素作為原象，就稱F是單映射。)
“換一根短的杠杆”
據傳說，在阿基米德晚年，他的家鄉敘拉古城被強大的羅馬帝國圍困，在保衛城牆的戰鬥中，阿基米德充分動用了他的智慧和才能，發明許多特種武器，給敵人以沉重的打擊，使得久攻不下的羅馬軍隊隻得棄強攻為封鎖，後來，敘拉古城由於矢盡糧絕，才被羅馬軍隊占領。
在保衛古城堡的最後一天，阿基米德看到城堡的一角，幾名將士正用一根既沉重又長的杠杆在運一塊大石，準備消滅入侵之敵。他好像突然想起什麼似的猛然站起來高聲喊道：“不要那麼長的杠杆，換一根短的。”將士們驚呆了，用短杠杆怎麼行?你老人家發明的杠杆原理不是要加長動力臂才省力嗎?
遺憾的是由於城堡被敵人攻破，阿基米德沒來得及回答將士們的問題，就被羅馬士兵殺害了。
這個傳說是否真實，我們不必來考證，但是，我們關心的是為什麼阿基米德突然想到要換一根短杠杆呢?隻要我們細心一想，就會發現這位古代科學家所提問題的道理，誠然加長動力臂能省力，但是隨著杠杆長度的增加，人們的無用消耗也將增加。那麼，究竟采用多長的杠杆才最省力呢?
不妨假設杠杆的支點、力點分為A、B，在距支點05米處的點掛重物490千克，已知杠杆本身每米長重40千克，求最省力的杠杆長?
顯然，我們可以得這樣一個關係式：
FX=40X·X2+490×05
可轉化以自變量X的二次方程：20X２-FX+245=0於是利用判別式法求出F的極值，即：
Δ=F２-40×20×245≥0
即F≥140
故當F=140千克時，X=35米
由此可知，最省力的杠杆長為35米，此時人們隻用140千克力就可移動490千克重的物體，事實上，當杠杆比35米長了或短了時，所用的力都要大。例如取4米時，F=14125千克，顯然用力大於140千克。現在我們已說明了“阿基米德為什麼說‘不要用那麼長的杠杆，換一根短的’”的道理。
到底有多少兔子
你知道澳大利亞嗎?它位於南半球，是大洋洲的一個國家，它的國土全都被海洋包圍著。我們今天先講的是一個澳大利亞和兔子的故事。
本來，澳大利亞沒有兔子，1859年，一家動物園引進了24隻兔子，供人們觀賞。可是幾年後的一天，動物園失火了，關兔子的柵欄被燒毀，兔子全都跑了出來，變成了野兔。誰也沒有想到，兔子繁殖的速度竟會是這樣驚人，短短幾十年的時間，就達到了40多億隻。它們破壞莊稼，和牛羊爭吃牧草，造成的損失十分巨大，使人們大傷腦筋。盡管人們采取了大量措施，可是兔子的禍害還是不見減輕。
為什麼兔子會繁殖得這麼快呢?我們再講一個故事，你就會知道了。12世紀，意大利有位叫做斐波那契的數學家寫了一本《算盤書》的著作，他在裏麵說明了怎樣應用阿拉伯數字，和如何用它們進行加減乘除計算和解題。在其中，他通過一個有趣的故事，出了一道題：“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔子在它出生後的第3個月裏，又能開始生1對小兔子，假如每隻兔子都能活下來，那由第一對兔子開始，1年後能有多少對兔子?”從第一個月開始，兔子的對數就依次為1，1，2，3，5……可以看出，從第三項開始，每一項都等於前兩項之和，而一年後，就是1+(1+2)+(1+1+2)+(1+1+2+1+1+2)……一直加到第十二個月，那麼，共有兔子144對，共有288隻，而如果按這個規律再往下寫下去，增加的速度是特別驚人的，到第571個月，就是說到第47年的時候，一共有多少兔子了呢?這個數目要達到96後麵有117個零!如果真到那個時候，這些兔子恐怕地球都裝不下了呢!
英雄追烏龜
古希臘傳說中有個叫阿基裏斯的英雄，他是一個非常能奔跑的天神。而當時有一位叫做芝諾的哲學家卻說：阿基裏斯跑得再快，也追不上一隻慢吞吞的烏龜。這是怎麼回事呢?
芝諾說：讓阿基裏斯和烏龜舉行一場賽跑，讓烏龜在阿基裏斯前頭1000米開始。假定阿基裏斯能夠跑得比烏龜快10倍，當比賽開始的時候，阿基裏斯跑了1000米，這個時候烏龜跑了100米，這就是說仍然在阿基裏斯前麵100米。當阿基裏斯跑了下一個100米的時候，烏龜依然在他前麵10米。阿基裏斯再跑10米，烏龜又在他前麵1米……阿基裏斯能夠繼續逼近烏龜，但他絕對不可能追上它。小朋友一定會認為，芝諾的話一定有錯誤的地方：一個跑得快的人怎麼可能追不上一隻烏龜呢?不過，誰能說出，不對的地方在哪兒嗎?
從阿基裏斯開始追趕烏龜時，阿基裏斯和烏龜二者的位置算起，在阿基裏斯追趕烏龜的整個過程中，阿基裏斯到達了烏龜的新的位置時，烏龜會到達一個更新的位置。於是，在阿基裏斯追趕烏龜的過程中，阿基裏斯與烏龜都會到達無窮多個位置，把每兩個相鄰位置之間的距離全部加起來，所得到的就是在阿基裏斯追趕烏龜的過程中他們二者分別跑過的總路程：
阿基裏斯跑過的總路程是1+01+001+0001+…=10／9(千米)
烏龜跑過的總路程是01+001+0001+…=1／9(千米)
然而芝諾犯了一個錯誤：他把阿基裏斯追趕烏龜的位置變化過程和時間變化過程混為一談了。
阿基裏斯在追趕烏龜時所經過的1千米+01千米+001千米+0001千米+…這個無窮的位置變化過程不需要無限長的時間。10／9千米除以1千米／小時=10／9小時，也就是說阿基裏斯追趕烏龜的無窮的位置變化過程隻需要10／9小時就完成了。在10／9小時之內，芝諾的說法成立，即：阿基裏斯每到達烏龜的一個位置時，烏龜又爬到了一個新位置。但是在10／9小時之後，就不會再有這樣的情況發生了，如果阿基裏斯繼續跑的話，他很快就會把烏龜遠遠甩下的。