於是，九連環的問題就圓滿解決了。
強盜的難題
強盜搶劫了一個商人，將他捆在樹上準備殺掉。為了戲弄這個商人，強盜頭子對他說：“你說我會不會殺掉你，如果說對了，我就放了你，決不反悔！如果說錯了，我就殺掉你。”
聰明的商人仔細一想，便說：“你會殺掉我的。”於是強盜頭子發呆了，“哎呀，我怎麼辦呢？如果我把你殺了，你就是說對了，那應該放你；如果我把你放了，你就說錯了，應該殺掉才是。”強盜頭子想不到自己被難住了，心想商人也很聰明，隻好將他放了。
這是古希臘哲學家喜歡講的一個故事。如果我們仔細想一想，就會明白那個商人是多麼機智。他對強盜說：“你會殺掉我的。”這樣，無論強盜怎麼做，都必定與許諾相矛盾。
如果不是這樣，假如他說：“你會放了我的。”這樣強盜就可以說：“不！我會殺掉你的，你說錯了，應該殺掉。”商人就難逃一死了。
下麵這個例子也是有趣的。有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什麼事都能做得到。一位過路人問了一句話，使他頓時張口結舌。
這句話是：“上帝能創造一塊他也舉不起來的大石頭嗎？”請你想一想，這個教徒為什麼會啞口無言？
國王給大臣們出的難題
據傳古代歐洲有位國王，一天他非常高興，便給大臣們出了一道數學題，並許諾誰先解出了這道題便予以重賞。他說：“一個自然數，它的一半是一個完全平方數，它的三分之一是一個完全立方數，它的五分之一是某個自然數的五次方，這個數最小是多少?”
有位大臣的兒子十分聰明，第二天他就替父親解出了這道題。
滿足上述條件的數，必然是２，３，５的倍數，其最小值可以表為Ｎ=２a·３b·５c(其中a、b、c為自然數。)由於１２N是完全平方數，所以２a-１３b５c是完全平方數：那麼a-１必為偶數，即a為奇數；b、c也必須是偶數，由於１３Ｎ是完全立方數，那麼b-１就為３的倍數，即b為被３除餘１的數，如１，４，７，１０，１３……同理c是被５除餘１的數，即１，６，１１，１６，２１……此外還要滿足條件：a與b都是５的倍數，a與c都是３的倍數。
綜上所述，a是能被３和５整除的奇數，即a的最小值為１５；b是能被５整除被３除餘１的偶數，即b的最小值為１０；c是被３整除被５除餘１的偶數，即c的最小值為６。那麼：
Ｎ=２１５·３１０·５６=３０２３３０８８００００。
愛吹牛的理發師
1919年，著名英國數學家羅素編了一個很有趣的“笑話”。
小鎮有個愛吹牛的理發師。有一天，理發師誇下海口說：“我給鎮上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且隻給這樣的人刮胡子。”
大家聽了直發笑。有人問他：“理發師先生，您給不給自己刮胡子呢？”
“這，這，……”理發師張口結舌，半晌說不出一句話來。
原來，這個愛吹牛的理發師，已經陷入自相矛盾的窘境。如果他給自己刮胡子，那就不符合他聲明的前一半，這樣，他就不應當給自己刮胡子；但是，如果他不給自己刮胡子，那又不符合他聲明的後一半，所以，他又應當給自己刮胡子。無論刮不刮，橫豎都不對。
像理發師這樣在邏輯上自相矛盾的言論，叫做“悖論”。羅素編的這則笑話，就是數學史上著名的“理發師悖論”。
理發師的狼狽相是很好笑的，可是，數學家聽了卻笑不起來，因為他們自己也像那個愛吹牛的理發師一樣，陷入了自相矛盾的尷尬境地。
實際上，20世紀初期的數學家們，比那個愛吹牛的理發師更狼狽。理發師隻要撤銷原來的聲明，厚起臉皮哈哈一笑，什麼事情都沒有了；數學家可沒有他那樣幸運，因為他們遇上了一個無法回避的數學悖論，如果撤銷原來的“聲明”，那麼，現代數學中大部分有價值的知識，也都蕩然無存了。
這個數學悖論也是羅素提出來的。1902年，羅素從已被人們公認為數學基礎理論的集合論中，按照數學家們通用的邏輯方法，“嚴格”地構造出這個數學悖論。把它通俗化就是理發師悖論。
集合論是19世紀末發展起來的一種數學理論，它已迅速深入到數學的每一個角落，直至中學數學課本。它極大地改變了整個數學的麵貌。正當數學家們剛剛把數學奠立在集合論的基礎上時，羅素悖論出現了，它用無可辯駁的事實指出，誰讚成集合論，誰將變成一個“愛吹牛的理發師”，從而陷入自相矛盾的窘境。數學家們尷尬萬分，如果繼續承認集合論，那麼，號稱絕對嚴密的數學，就會因為羅素悖論這樣的怪物而不能自圓其說；如果不承認集合論，那麼，許許多多重要的數學發明也就不複存在了。
羅素悖論震撼了世界數學界，導致了一場涉及數學基礎的危機。人們已經發現，在數學這座輝煌大廈的基礎部分，存在著一條巨大的裂縫，如不加以修補，整座大廈隨時都有倒塌的危險。
數學家們勇敢地接受了挑戰。他們認真考察了產生羅素悖論的原因。原來，之所以出現羅素悖論這樣的怪物，是由於在集合論中，“集合的集合”這句話不能隨便說。於是，數學家們開始探索數學結論在什麼情況下才具有真理性，數學推理在什麼情況下才是有效的……從而產生了一門新的數學分支——數學基礎論。
在這個領域裏，由於數學家的觀點不同，產生了3個著名的學派。以羅素為主要代表的數學家叫邏輯主義學派，他們認為，隻要不允許使用“集合的集合”這種非邏輯語言，羅素悖論就不會發生；以布勞威爾為主要代表的數學家叫直覺主義學派，他們認為，“集合的集合”是不能用直覺理解的，不承認它的合理性，羅素悖論自然也就不會產生了；以希爾伯特為主要代表的數學家叫形式主義學派，他們認為，悖論是一種不相容的表現。
三大學派都提出了修補數學基礎的方案，由於各執己見，爆發了一場大論戰。這場大論戰對現代數學發展影響深遠，還導致了許多新的數學分支的誕生。
現在，修補數學基礎的工作尚未取得令人完全滿意的結果，數學家們仍在頑強拚搏。
牛皮上的城堡
你知道古代城市卡發汗嗎?它就是在一張牛皮所占有的土地上建立的城市。
傳說基爾王的公主蒂頓娜的丈夫被她的兄弟殺死，她逃到非洲。她在奴米地國王那裏用了很少的錢買了“一張牛皮所能占有的”土地。這項交易簽約後，蒂頓娜把牛皮割成非常細的牛皮條，圍成很大的一片土地，足以建成一座城堡。後來擴建成卡發汗。
根據這個傳說，假想蒂頓娜割成牛皮條寬1毫米，而一張牛皮的麵積有4平方米，那麼她圍成的土地最大麵積能是多少?
麵積為4平方米的牛皮、合4百萬平方毫米，若把它螺旋式地切割成完全可連續的一條牛皮條，也就是4000米即4千米。這樣長的牛皮條可以圍出一平方千米的正方形土地。若圍成圓形土地，麵積可達13平方千米，其大小相當於三個梵蒂岡。你想，卡發汗市建立的傳說還真有點可靠性呢。
康托爾與集合論
集合論的創立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生於俄國彼得堡(現為蘇聯彼得格勒)一個商人家庭。他在中學時期就對數學感興趣。1862年，他到蘇黎世上大學，1863年轉入柏林大學。當時柏林大學正在形成一個數學與研究的中心。他在1867年的博士論文中已經反映出“離經叛道”的觀點，他認為在數學中提問的藝術比起解法更為重要。的確，他的成績並不總是在於解決問題，他對數數的獨特貢獻在於他以特殊提問的方式開辟了廣闊的研究領域。他所提出的問題一部分被他自己解決，一部分被他的後繼者解決，一些沒有解決的問題則始終支配著某一個方向的發展，例如著名的連續統假設。
1869年康托爾取得在哈勒大學任教的資格，不久就升為副教授，並在1879年升為教授。他一直到去世都在哈勒大學工作。他曾希望去柏林找一個薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位很有勢力而且又專橫跋扈的克洛耐克(L·Kronecker，1823—1891年)對於他的集合論，特別是他的“超窮數”的觀點持根本否定的態度。因此，處處跟他為難，堵塞了他所有的道路。由於用腦過度和精神緊張，從1884年起，他不時犯深度精神抑鬱症，常常住在療養院裏。1918年1月6日他在哈勒大學附近精神病院中去世。
集合論的誕生可以說是在1873年年底。1873年11月，他在和戴德金的通信中提出了一個問題，這個問題使他從以前關於數學分析的研究轉到了一個新方向。他認為，有理數的集合是可以“數”的，也就是可以和自然數的集合一對一的對應。但是，他不知道，對於實數集合這種一對一的對應是否能辦到。他相信不能有一對一的對應，但是他“講不出什麼理由”。不久之後，他承認“沒有認真地考慮這個問題，因為它似乎沒有什麼價值”。接著他又補充一句，“要是你認為它因此不值得再花費力氣，那我就會完全讚同。”可是，康托爾又考慮起集合的映射問題來。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的了。這一天可以看成是集合論的誕生日。戴德金祝賀康托爾取得成功。