第三章趣味數學之謎3
摸球的奧秘
在一些地方常有人經營這樣的“遊戲”，經營人手持一個布口袋。口袋裏有20個同樣大的玻璃球，其中10個藍球，10個紅球，由你任意摸10個，當你摸出的球兩種顏色的比為：
10∶0贏300元
9∶1，贏100元
8∶2，贏30元
7∶3，贏2元
6∶4，輸10元
5∶5，贏1元
初看，似乎摸球人很占便宜，可以贏5種比值，而經營者隻贏1種，摸球的人贏的數額又分別為300元、100元、30元和1元。其實不然，摸球人一般會遇到失敗。是否其中有詐?通過仔細觀察，發現布袋裏的玻璃球並無異樣。經營者甚至會讓摸球人自己拿著布袋子摸，結果往往又遭失敗。
這裏的奧秘在哪裏呢?
我們知道，在自然和社會現象中，有這樣一類事件，它在相同條件下由於偶然因素的影響可能發生，也可能不發生，這類事件叫隨機事件。對一個隨機事件做大量實驗時發現，隨機事件發生的次數與試驗次數的比總是在一個固定數值附近擺動，這個固定數值就叫隨機事件發生的概率，概率的大小反映了隨機事件發生的可能性的大小。例如：做大量拋硬幣的試驗中，正麵向上和反麵向上的次數大致相等，各占總次數的12左右。12就是硬幣正麵向上(和反麵向上)這一事件的概率。
在上述摸球的“遊戲”中，擺攤人所列出的幾種比所產生的概率是不同的，分別為：
10∶09∶18∶27∶36∶45∶5192378100923782025923781440092378441009237831752923780001%011%219%1559%477%347%
由上表可以看出，6∶4發生的可能性最大，10∶0出現的可能性最小。他把最小的讓給摸球人，價格定得很高，自己挑了個概率最大的，定了中價，5∶5的概率排在第二位。為了避免摸球人總是失敗，經營者把這個讓給摸球人，但價格定的最低，對摸球人贏的幾種情況，概率越小，定價越高。
如果按概率的數值計算，你摸92378次，則可以贏到，300×1+100×100+30×2025+2×14400+1×31752=131602(元)，而應輸掉44100×10=441000(元)，結果摸球人將輸掉441000-131602=309398(元)
顯然，經營者在不搗鬼的正常情況下，可以贏到30多萬元。
摸球“遊戲”是一種賭博行為，但利用的是數學知識，可見數學知識無處不在。如果我們掌握了這些知識，就不會上當受騙了。
“農婦賣蛋”
“農婦賣蛋”是一個經典問題。
這個問題說的是：一農婦去市場賣雞蛋，第一次賣去全部雞蛋的一半又半個；第二次又賣去剩下雞蛋的一半又半個；第三次賣去前兩次賣後所剩下雞蛋的一半又半個，最後又賣去所剩下雞蛋的一半又半這時雞蛋恰好賣完，問農婦原有多少雞蛋
許多數學家愛好者對這個問題十分感興趣，並給出了許多解答方法，但多數方法較為繁瑣。瑞士著名的數學家歐拉對這個問題給出了一個別具一格的解法：設第三次賣完後所剩(第四次賣去)的雞蛋為1+05，第三次賣去的雞蛋為(1+05)×2＝3，第二次賣完後所剩雞蛋數應為：(3+05)×2=7(個)，因此，農婦原有雞蛋數為：(7+05)×2=15(個)
我們從歐拉對上述問題得到啟發：有些數學問題，如果按正向思維去考慮問題，有時難以入手或根本無法獲解，但若能根據問題提供的條件，進行逆向思維去考慮，則有獲解的希望。歐拉解農婦賣蛋問題正是這種逆向思維方式的具體體現。
巧解九連環
外國文獻中把九連環叫做“Chinese Ring”，世界上一致公認它是人類所曾發明過的最奧妙的玩具之一。
九連環不知道是什麼時候發明的，由於年代久遠，缺乏史料，許多人都認為它大概來自民間。十六世紀的大數學家、在普及三次方程解法中作出了卓越貢獻的卡爾達諾在公元1550年（相當於我國明朝中葉）已經提到了九連環。後來，大數學家華利斯對九連環也作了精辟的分析。在明清二朝，上至所謂“士大夫”，下至販夫走卒，大家都很喜歡它。
九連環一般都用粗鉛絲製成，現在從事此道的民間藝人已經寥若晨星，我們隻好自己動手來做一個。它共有九個圓環，每一個環上都連著一個較細的鉛線直杆，各杆都在後一環內穿過，插在白鐵皮上的一排小孔裏。杆的下端都彎一小圈，使它們隻能在小孔裏上下移動，但脫不出來。另外再用粗鉛絲做一個雙股的釵。
玩這種遊戲的目的是要把九個環一個扣住一個地都套到釵上，或者從釵上把九個環都脫下來。不論是套上或脫下都不容易，要經過幾百道手續，還得遵循一定的規律，用數學的行話來說，就是有一套“算法”。
先介紹兩種基本動作。如果要把環套到釵上去，先要把環從下向上，通過釵心套在釵頭上，這一個動作除了第一環隨時可做外，其餘的環因為有別的環扣住，都無法套上。但有一點要注意，如果前麵有一個鄰接的環已經套在釵上，而所有其他前麵的環都不在釵上時，那麼，隻要把這一個在釵上的環暫時移到釵頭前麵，讓出釵頭，後一環就可以套上去，再把前一個恢複原位。
至於環從釵上脫下的基本動作，隻要把上麵的“上環”動作倒過來做就行了。
懂了這兩種基本動作之後，我們還要多加練習，要做到不論套上或脫下都能運用自如。現在可以看出，如果隻要套上第一環，隻需一步手續就行了。要套上第一、二兩環，可先上第一環，再上第二環，因此，一共需要二步。如果要上三個環呢。手續就更麻煩了。必須先上好第一和第二兩個環，還得脫下第一環，才能套上第三環，最後再上第一環，這樣，一共需要五步。（為了統一起見，每移動一個環算作一步。）當環數更多時，手續必然更繁，如果一旦弄錯，就會亂了套。幸而我國古代的研究家們早就考慮到了，他們根據古算的特色，創造了三句口訣：“一二一三一二一，釵頭雙連下第二，獨環在釵上後環。”（最後五步是一二一三一；脫環時最先五步是一三一二一。）
換句話說，移動的手續是，每八步可作為一個單元，其中的前七步一定是“一二一三一二一”，至於到底應“上”應“下”呢，這可依自然趨勢而定。即：原來不在釵上的應“上”，原來在釵上的應“下”。至於第八步則要看那時釵頭的情況而定：如果有兩環相連時，一定要脫下後一環；如果釵頭隻有單獨的一環時，一定要套上後一環。以上就是口訣的意思，“算法”的全部奧妙就都在這裏了。根據這三句口訣，解開或套上九個環，雖然有341步之多，也不費吹灰之力了。據我國古代小說記載，民間老藝人把九連環全部解開來，大約隻要五分鍾左右。
1975年，在國外出版了一本專書，專門講各式各樣的數列。由於電子計算機的飛速發展，數學裏有一種“離散化”傾向，因此，這本書的出版，被認為是前所未有的，得到了各方麵的好評。在這本書裏，也收羅著下麵的數列：
1、2、5、10、21、42、85、170、341……
起先大家都莫名其妙，不知道它是幹什麼用的，因為它既非等差數列，又非等比數列，也不是一些有名的數列。但是，後來一經指點就恍然大悟了，原來它就是“九連環”數列。第一項的1，表明解開一個環隻要一步，第二項的2，表明解開二個環需要二步……以此類推。由此可見，解開九個環，一共需要三百四十一步。
數列裏頭的各個數，到底有什麼規律？是否非得死記不可？經過專家一研究、一分析，謎底終於揭穿了。原來，如果我們用un代表上述數列中的第n項，那麼，就可以得出下麵的公式：
當n是偶數時，un＝2un－1。
（例如，解開八個環需要的步數170，正好是解開七個環需要的步數85的二倍。）
當n是奇數時，un＝2un－1＋1。
（例如，解開九個環需要的步數341，等於解開八個環需要的步數170的二倍再加上1。）
這樣一來，我們有了u1，就能推出u2，有了u2，就能推出u3……就像順藤摸瓜，這種方法就叫“遞歸”，是數學裏一個非常重要的概念。
上麵的方法雖然好，有人卻仍舊感到美中不足。他們問，如果要解開幾個環，到底需要幾步？有沒有一個直接的計算公式呢？用數學的行話來說，就是要求出一個用n來表示un的函數關係。經過前人的研究，這個式子也是有的，即：
un＝13（2n＋1－1）當n為奇數時；13（2n＋1－2）當n為偶數時；