第二章學生數學科學興趣培養3
16.冰雹猜想
３０多年前，日本數學家角穀靜發現了一個奇怪的現象：一個自然數，如果它是偶數，那麼用２除它；如果商是奇數，將它乘以３之後再加上１，這樣反複運算，最終必然得１。
比如，取自然數Ｎ＝６，按角穀靜的作法有：６÷２＝３，３３＋１＝１０，１０÷２＝５，５３＋１＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，從６開始經曆了３→１０→５→１６→８→４→２→１，最後得１。
找個大數試試，取Ｎ＝１６３８４。
１６３８４÷２＝８１９２，８１９２÷２＝４０９６，４０９６÷２＝２０４８，２０４８÷２＝１０２４，１０２４÷２＝５１２，５１２÷２＝２５６，２５６÷２＝１２８，１２８÷２＝６４，６４÷２＝３２，３２÷２＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，這個數連續用２除了１４次，最後還是得１。
這個有趣的現象引起了許多數學愛好者的興趣，一位美國數學家說：“有一個時期，在美國的大學裏，它幾乎成了最熱門的話題，數學係和計算機係的大學生，差不多人人都在研究它。”人們在大量演算中發現，算出來的數字忽大忽小，有的過程很長，比如２７算到１要經過１１２步，有人把演算過程形容為雲中的小水滴，在高空氣流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，體積越來越大，最後變成冰雹落了下來，而演算的數字最後也像冰雹一樣掉下來，變成了１！選數學家把角穀靜這一發現，稱為“角穀猜想”或“冰雹猜想”。
這一串串數難道一點規律也沒有嗎？觀察前麵作過的兩串數：
６→３→１０→５→１６→８→４→２→１；
１６３８４→８１９２→４０９６→２０４８→１０２４→５１２→２５６→１２８→６４→３２→１６→８→３→２→１。
最後的三個數都是４→２→１。
為了驗證這個事實，從１開始算一下：
３１＋１＝４，４÷２＝２，２÷２＝１。結果是１→４→２→１，轉了一個小循環又回到了１，這個事實具有普遍性，不論從什麼樣自然數開始，經過了漫長的曆程，最終必然掉進４→２→１這個循環中去，日本東京大學的米田信夫對從１到１０９９５億１１６２萬７７７６之間的所有自然數逐一做了檢驗，發現它們無一例外，最後都落入了４→２→１循環之中！
計算再多的數，也代替不了數學證明。“角穀猜想”目前仍是一個沒有解決的懸案。
其實，能夠產生這種循環的並不止“角穀猜想”，下麵再介紹一個：
隨便找一個四位數，將它的每一位數字都平方，然後相加得到一個答數；將答數的每一位數字再都平方，相加……一直這樣算下去，就會產生循環現象。
現在以１９９８為例：
１２＋９２＋９２＋８２＝１＋８１＋８１＋６４＝２２７，
２２＋２２＋７２＝４＋４＋４９＝５７，
５２＋７２＝２５＋４９＝７４，
７２＋４２＝４９＋１６＝６５，
６２＋５２＝３６＋２５＝６１，
６２＋１２＝３６＋１＝３７，
３２＋７２＝９＋４９＝５８，
５２＋８２＝２５＋６４＝８９。
下麵再經過八步，就又出現８９，從而產生了循環：
17.千古之謎
現代數論的創始人、法國大數學家費爾馬（１６０１—１６６５），對不定方程極感興趣，他在丟番圖的《算術》這本書上寫了不少注記。在第二卷問題８“給出一個平方數，把它表示為兩個平方數的和”的那一頁的空白處，他寫道：“另一方麵，一個立方不可能寫成兩個立方的和，一個四方不可能寫成兩個四方的和。一般地，每個大於２的冪不可能寫成兩個同次冪的和。”
換句話說，在ｎ＞２時，
ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ（１)
沒有正整數。這就是舉世聞名的費爾馬大定理。
“關於這個命題”，費爾馬說：“我有一個奇妙的證明，但這裏的空白太小了，寫不下。”
人們始終未能找到弗爾馬的“證明”。很多數學家攻克這座城堡，至今未能攻克。所以，費爾馬大定理實際上是費爾馬大猜測。人們在費爾馬的書信與手稿中，隻找到了關於方程
ｘ４＋ｙ４＝ｚ４（２）
無正整數解的證明，恐怕他真正證明的“大定理”也就是這ｎ＝４的特殊情況。
既然（２）無正整數解，那麼方程
ｘ４ｋ＋ｙ４ｋ＝ｚ４ｋ（３）
無解（如果（３）有解，即有正整數ｘ０，ｙ０，ｚ０使
ｘ０４ｋ＋ｙ０４ｋ＝ｚ０４ｋ（３)
那麼（ｘ０ｋ）４＋（ｙ０ｋ）４＝（ｚ０ｋ）４
這與（２）無解矛盾！
同理，我們隻要證明對於奇素數Ｐ，不定方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ（４）
無正整數解，那麼費爾馬大定理成立（因為每個整數ｎ＞２，或者被４整除，或者有一個奇素數ｐ是它的因數）。
（４）的證明十分困難。在費爾馬逝世以後９０多年，歐拉邁出了第一步。他在１７５３年８月４日給哥德巴赫的信中宣稱他證明了在ｐ＝３時，（４）無解。但他發現對ｐ＝３的證明與對ｎ＝４的證時截然不同。他認為一般的證明（即證明（４）對所有的素數ｐ無正整數解）是十分遙遠的。
一位化名勒布朗的女數學家索菲·吉爾曼（１７７６—１８３１）為解費爾馬大定理邁出了第二步。她的定理是：
“如果不定方程
ｘ５＋ｙ５＝ｚ５
有解，那麼５｜ｘｙｚ。”
人們習慣把方程（４）的討論分成兩種情況。即：如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ
無滿足ｐ｜ｘｙｚ的解，就說對於ｐ，第一種情況的費爾馬大定理成立。
如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ
無滿足ｐ｜ｘｙｚ的解，就說對於ｐ，第二種情況的費爾馬大定理成立。
因此，吉爾曼證明了ｐ＝５，第一種情況的費爾馬大定理成立。她還證明了：如果ｐ與２ｐ＋１都是奇素數，那麼第一種情況的費爾馬大定理成立。她還進一步證明了對於≤１００的奇素數ｐ，第一種情況的費爾馬大定理成立。
在歐拉解決ｐ＝３以後的９０餘年裏，盡管許多數學家企圖證明費爾馬大定理，但成績甚微。除吉爾曼的結果外，隻解決了ｐ＝５與ｐ＝７的情況。
攻克ｐ＝５的榮譽由兩位數學家分享，一位是剛滿２０歲、初出茅廬的狄利克雷，另一位是年逾７０已享盛名的勒仕德。他們分別在１８２５年９月和１１月完成了這個證明。