第二章學生數學科學興趣培養2
7.會下金蛋的母雞
神話裏有個仙人，他有一個神奇的寶盆，裝進石子就能變成金子；童話裏有個仙女，她有一個神奇的手指，能點石成金；……這些當然都是人們編造出來虛無飄渺的故事。
然而，在數學王國裏，卻真有一隻神奇的會下金蛋的母雞……
那是在300多年前的法國。
當時巴黎有一位律師，名叫皮埃爾·費爾馬，是一個數學愛好者。他把畢生的業餘時間都用來研究數學，並且在許多數學領域裏做出了開創性的貢獻，被人們稱為“業餘數學家之王”。
費爾馬性情好靜，不喜歡寫書和發表論文，但是喜歡在鑽研別人的著作時，在書頁的空白處隨時寫下問題，記下心得。
1637年，費爾馬在巴黎買了一本古希臘數學家丟番都的著作《算術》的拉丁文譯本。他在這本書第2卷的“將一個平方數分為兩個平方數”旁邊的空白處寫了一段話：“將一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關於這個結論，我確信已經發現了一種美妙的證明方法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下。”
當然，這段話是費爾馬死後，人們為編輯、整理他的論述而查閱他的書籍時發現的。
但是，誰也沒有見到過這個“美妙的證明”。費爾馬的兒子整理了他的全部遺稿和書信，都沒有找到那個“美妙的證明”。
後人把費爾馬寫在書頁空白處的那個結論叫做“費爾馬猜想”或“費爾馬問題”，但更普遍的是稱之為“費爾馬大定理”。用數學術語表達費爾馬大定理就是：“當n是大於2的整數時，方程xn＋yn＝zn沒有非零的整數解。”
費爾馬大定理的證明激起了許許多多數學家的興趣，高斯(“數學王子”)和歐拉(18世紀最優秀的數學家)都為證明它而花費了巨大的精力，但都沒有解決。人們驚呼：費爾馬大定理的證明實在太難了!它簡直是在向人類的智慧挑戰!
為了鼓勵人們解決這道難題，許多國家的科學院曾設立多種獎金。17世紀末，德國一個城市的科學家和市民募捐了10萬金馬克，準備獎給解決這個難題的人，但沒有得到結果；19世紀中，法國科學院兩次設立3千法郎獎金，也沒有得到結果；1908年，德國哥廷根科學院設立獎金10萬馬克，限期100年，向全世界征求費爾馬大定理的證明，到現在為止，仍然沒有看到完全的證明!
300多年來，一代一代數學家為了顯示人類的智慧，揭示難題背後的數學真理，不斷地創造新穎的數學方法，無意中創立和發展了新的數學分支，推動了整個數學的發展，這個意義遠遠超過了解決這個難題的本身。
1900年8月6日，第2屆國際數學家大會在巴黎開幕了。8月9日，德國大數學家希爾伯特向到會的200多名數學家，也是向國際數學界提出了23個問題，這些問題當然都是非常非常難的，是新世紀裏數學家們應當解決的。人們奇怪地問希爾伯特，為什麼不把費爾馬大定理列入這23個問題中去?希爾伯特意味深長地說：“如果我能解決這個問題，我將回避而故意不解決，這是因為我們應當更加注意，不要殺掉這隻經常為我們生出金蛋的母雞。”
希爾伯特把費爾馬大定理比作“經常為我們生出金蛋的母雞”，說明追求一個難題的解決，往往會使人們闖入新的領域裏去。例如，德國數學家庫麥爾(1810～1893)在研究費爾馬大定理的過程中，創立了重要的數學概念——理想數，同時開創了一門嶄新的數學分支——代數數論(1884)，在現代數學中，代數數論仍然是十分活躍的領域，因為數學家們認為，庫麥爾因此而創立的代數數論比費爾馬大定理本身還重要得多!
“光陰似箭，日月如梭”，轉眼就到了20世紀90年代，證明費爾馬大定理的工作也不斷取得進展。“說時遲，那時快”，曆史的指針指向了公元1993年，距離德國哥廷根科學院1908年懸賞10萬馬克征求費爾馬大定理的證明的100年有效期限，隻有短短的14年了!這時，在向費爾馬大定理進軍的征途中，傳出了震驚世界的消息：1993年6月23日，在英國劍橋大學舉行的一次小型數學學術會議上，四十多歲的威爾斯(AWiles)博士在連續3天的學術報告結束時宣布：他已證明了費爾馬大定理!幾小時內，費爾馬大定理獲得證明的消息傳遍四方，震驚了國際學術界。
威爾斯出生於英國牛津，小時候聽說過“一隻會下金蛋的母雞”故事後，就對費爾馬大定理著了迷，立誌征服這座無人登頂的數學王國的高峰。就是這條奇妙的定理將他引入數學的殿堂，他選擇“數學”作為他的職業。兒時的夢想，雖然帶有絢麗的光環，但是，對於已成為數學家的威爾斯博士來說，卻是一個耀眼的燈塔，他擬訂了一套切實可行的研究方案來實現他童年的夢想——證明費爾馬大定理。不過，所有這些研究工作都是極其秘密地進行的，就是在他宣布證明了費爾馬大定理的學術會上，人們開始也未能察覺到他報告的最終目標。
威爾斯的工作公布後，很快受到了國際上一些最著名的數學家的喝彩，大多數人認為威爾斯是一位嚴肅的數學家，他的證明基礎是可靠的。
人們正翹首期盼著歡呼費爾馬大定理獲得證明的最後時刻的到來!
但是，1993年12月4日，威爾斯教授宣布，他於6月對費爾馬大定理的證明中“有漏洞”。所以，費爾馬大定理仍在證明中!(見《中國數學會通訊》1994年第二期)讀者同學，你看了這個故事，有什麼想法呢?
讓我們聽聽數學大師希爾伯特的一番話：“正如人類的每項事業都追求確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意誌和力量，發展新方法和新觀點，達到更廣闊和自由的境界。”
我們了解一些數學問題的曆史和意義，可以提高對數學的認識，可以激勵自己像前人那樣頑強學習，為人類進步事業作出貢獻。
8.蜜蜂問題
在美國數學界廣泛流傳著一個解蜜蜂問題的故事。
據說，在一次雞尾酒會上，許多數學家聚集一堂，歡聲笑語，洋溢著輕鬆愉快的氣氛。著名的數學大師、“電子計算機之父”馮·諾依曼端著酒杯，和同行們說說笑笑。一位客人看到馮·諾依曼有時流露出心不在焉、若有所思的樣子，知道這是科學家的“職業病”：搞慣了科學研究，做慣了思維“體操”，頭腦裏不想點問題便好像丟了什麼東西似的。於是，他想出了一個問題。
“你好，馮·諾依曼先後，想做遊戲嗎?”
“遊戲?”他指了指頭腦，說：“它正想活動活動，做做思維遊戲呢!”
“我這裏有一個蜜蜂問題。兩列火車相距100英裏，在同一軌道上相向行駛，速度都是每小時50英裏。火車A的前端有1隻蜜蜂以每小時100英裏的速度飛向火車B，遇到火車B以後，立即回頭以同樣的速度飛向火車A，遇到火車A以後，又回頭飛向火車B，速度始終保持不變，如此下去，直到兩列火車相遇時才停止。假設蜜蜂回頭轉身的時間忽略不計，那麼，這隻蜜蜂(馮·諾依曼插話：好一隻超級蜜蜂!)一共飛了多少英裏的路?”
馮·諾依曼，這位20世紀最傑出的數學家，心算能力極強，不用筆和紙就能熟練自如地進行計算。據說，他6歲就能心算8位數的除法，十來歲時就掌握了微積分，中學時在匈牙利數學競賽中名列第一。他的老師、著名的數學家、教育家波利亞回憶說：“約翰(馮·諾依曼的名字)是我惟一感到害怕的學生，如果我在講演中列出一道難題，那麼當我講演結束時，他總會手拿一張潦草寫成的紙片，說他已把難題解出來了。”
這時，把解答有趣的數學題作為一種積極的休息，作為參加一種遊戲，馮·諾依曼沒有用簡單的算術方法，而是別出心裁地采用了高等數學中一個巧妙的解法，很快地解出了這個問題。
如果你直接從蜜蜂往返飛行的路程去求解，那就很複雜了；而間接用蜜蜂飛行的時間來求解，那非常簡單。
因為兩列火車相距100英裏，以每小時50英裏的速度相向而行，所以，它們相遇時所經過的時間是1小時。而蜜蜂在這一段時間內，不停地在兩列火車之前往返飛行，蜜蜂飛行的全部時間正好是兩列火車相遇的時間。所以，蜜蜂在這1小時內，正好飛行了100英裏。
有趣的是，我國著名數學大師蘇步青教授，在一次出國訪問時，脫口而出地解出了一位外國數學家提出的和“蜜蜂問題”類似的“獵狗問題”：
獵人甲帶著他的獵狗到120公裏外的獵人乙家去作客。當甲出發時，乙也正好走出家門去迎接甲。甲每小時走10公裏，乙每小時走20公裏，獵狗每小時走30公裏。當獵狗先與乙相遇後，又返回來迎接甲，與甲相遇後，再轉身去迎接乙。這樣，獵狗就在甲、乙之間往返奔跑。問：當甲、乙相遇時，獵狗一共跑了多少公裏路?
因為獵狗往返奔跑的全部時間，正好是獵人甲、乙相遇的時間：
120÷(10＋20)＝4(小時)，
所以，獵狗一共跑的路程是
30×4＝120(公裏)。
9.數字“冰雹”
讓我們先來做一個遊戲：
你隨便取一個自然數，如果它是偶數，就用2去除它；如果它是奇數，將它乘3之後再加1，這樣反複運算，你會發現，最終必然是1。
比如，取自然數N＝6。6是偶數，要先用2除，6÷2＝3；3是奇數，要將它乘3之後再加1，3×3＋1＝10；按照上述法則繼續往下做：10÷2＝5，5×3＋1=16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1。從6開始經曆了3→10→5→16→8→4→2→1，最後得1。