用一個大一點的數運算，結果還是這樣嗎?
取自然數N＝16384。你會發現這個數連續用2除了14次，最後還是得1。
上麵用的兩個數都是偶數，奇數是不是這樣的呢?
取自然數N＝19。按照上麵的法則來算，可以得到下麵一串數字：
19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
經過20步，最終也變為最小的自然數1。
這個有趣的現象引起了許多數學愛好者的興趣。一位美國數學家說：“有一個時期，在美國的大學裏，它幾乎成了最熱門的話題。數學係和計算機係的大學生，差不多人人都在研究它。”人們通過大量演算發現最後結果總是得1。於是，數學家便提出如下一個猜想：
對於任一個自然數N，如果N是偶數，就把它變成N2；如果N是奇數，就把它變成3N+1。按照這個法則運算下去，最終必然得1。
這個猜想最初是由哪位數學家提出來的，已經搞不清楚了，但似乎並不古老。20世紀30年代，德國漢堡大學的學生考拉茲就研究過它。1952年一位英國數學家獨立發現了它。幾年之後它又被一位美國數學家所發現。自20世紀50年代起，這個問題一再引起人們的廣泛興趣。
在日本，這個問題最早是由角穀靜夫介紹到日本的，所以日本人稱它為“角穀猜想”。1960年角穀靜夫初次聽到這個問題，他說：“有一個月，耶魯大學每一個人都在研究這個問題，但沒有任何結果。我到芝加哥大學提出這個問題之後，也出現了同樣現象。有人開玩笑說，這個問題是企圖減緩美國數學進展的一個陰謀。”足見這個問題的吸引力之大。
人們爭先恐後去研究這個猜想，一遍遍地進行運算，在運算過程中發現，算出來的數字忽大忽小，有的計算過程很長。比如從27算到1，需要112步。有人把演算過程形容為雲中的小水滴，在高空氣流的作用下，忽高忽低，遇冷結冰，體積越來越大，最後變成冰雹落了下來，而演算的數字最後也像冰雹一樣掉了下來，變成了1。因此人們又給這個猜想起了個形象的名字——冰雹猜想。
10.巧稱蘋果
秋天到了，蘋果園裏，樹上碩果累累，一派豐收景象。
小明的叔叔是林場的工程師，星期天加班。小明要叔叔帶他到果園去玩。
小明和叔叔來到蘋果質量檢驗處。叔叔仔細察看了職工們的工作：把摘下的蘋果分類，檢驗，裝箱。
“叔叔，一箱蘋果有多重?”小朋問。
“四五十公斤吧，重量不一定相同。”叔叔說。
“咱們稱一稱吧!”小明要求道。
“好。”叔叔把小明領到一架磅秤旁邊。不巧，管計量的職工有事離開了，把磅秤的小秤砣收了起來，隻留下了100公斤的大秤砣。
小明不高興了：“那怎麼稱一箱蘋果的重量?”
叔叔想了想，說：“咱們把這5箱蘋果兩兩合稱吧!”
小明說：“兩兩合稱就是每兩箱一起稱，一共要稱10次。”
叔叔說：“對。不過，需要說明一下：咱們稱的是蘋果連同紙箱的重量，叫做毛重；箱子裏麵蘋果的重量叫做淨重。咱們以下說的每箱蘋果的重量，都是毛重。”
小明和叔叔抬起蘋果箱過稱，記錄如下：
5箱蘋果，兩兩合稱，重量(單位：公斤)為：
111，112，113，114，115，
116，117，118，119，121。
叔叔知道小明是數學課外小組成員，便想考考他：“你算算每箱蘋果的重量，”叔叔又補充，“假定每箱蘋果重量的公斤數都是整數。”
小明說：“我把這10個數加起來，除以20，不就算出來了!”
叔叔笑了：“那是平均數。你從這10個數中，能看出這5箱蘋果的重量有兩箱相同嗎?”
小明說：“因為這10個數兩兩不相同，而且前麵9個是連續自然數，所以，我推測這5箱蘋果的重量兩兩不相同。”
“對。還有呢?”
“還有……沒有了!”
叔叔啟發說：“你從最簡單的數，比如1，2，3下手，找找規律。”
小明說：“我試試看。1，2，3兩兩相加，得到3，4，5。這是什麼規律呢?”
叔叔說：“思考要來一個飛躍，由簡單到複雜，由具體到抽象，才能發現規律。你剛才說的，抽象到一般情況就是，3個連續自然數n,n+1,n+2，兩兩之和為2n+1,2n+2,2n+3，還有3個連續自然數。”
小明恍然大悟：“哎呀，我的腦子到這會兒才有點兒開竅。111，112，113應該是3個連續自然數兩兩相加而得到的，這3個數是……”
小明在草稿紙上做了一些計算之後，把草稿紙遞給叔叔，說：“我已經算出來了，這5箱蘋果的重量是……”
小明觀察出這10個數，它們兩兩不同，而且前9個是連續的自然數，在叔叔的啟發下推出，這5箱蘋果的重量兩兩不相同，而且最小的3個重量數可能是連續的自然數。因為3個連續自然數兩兩之和仍為3個連續自然數，所以首先推出最小的3個重量的公斤數為55，56，57，它們兩兩之和為111，112，113。其次，第四個公斤數不可能是58，因為不然的話，便有58+55=56+57=113，得出了兩個113，這與已知條件“兩兩合稱，結果兩兩不同”相矛盾。取第四個公斤數為59，經過試驗：
55+59=114，56+59=115，
57+59=116，
符合已知條件。類似地，可以求得第五個公斤數為62。
因此，這5箱蘋果重量的公斤數分別是
55，56，57，59，62。
11.紙的高度
數學小組活動的時候，同學們都向小伶表示祝賀：“小伶成了電視明星了!”“小伶回答問題‘完全正確’(一個同學模仿電視台著名的節目主持人的口氣)，給咱們數學小組爭了光!”
“哦，原來是那天看烹飪大師大獎賽時回答了一個問題，這沒有什麼!”小伶謙虛地說。
李老師及時引導同學們找“數學感覺”。“數學感覺”這個詞是李老師自編的，其來源是體育界和音樂界：踢足球的常說“球感”，遊泳的常說“水感”，搞音樂的常說“樂感”……
李老師說：“小伶回答的問題不是沒有什麼，而是大有文章可做，是數學裏非常有趣而且有用的一個內容。”
同學們催李老師快講。
李老師說：“抻麵條是把大麵條抻長，繞，扣，再抻，每一扣都比上一次的麵條根數增加一倍，而麵條一次比一次抻得細。現在我們看一個相反的問題。
“請同學們拿出剛發的《少年科學報》，打開，把這張報紙對折一次，一張變成了兩層；好，再對折一次，兩層變成了4層；再對折一次，4層變成了(小聰答話：8層)，對。你們看看手邊的一疊紙，變厚了吧!
“假定你的這張紙很大很大，要多大就有多大。你把這張紙像剛才這樣對折30次後，再估計一下，這疊紙放在地麵上應該有多高?”
小明舉手問：“李老師，一張報紙的厚度是多少?”
李老師反問：“能量出一張紙有多厚嗎?”
小聰拿起一本書和一塊三角板，一邊演示一邊說：“我手中這本書的每一頁的厚度，與這張報紙的厚度差不多。我用三角板量一量書的厚度，再看看這本書有多少頁，就可以算出一張紙的厚度了。”停頓了一會兒，小聰接著說：“這本書的厚度約是12毫米，有150頁，我算出一張紙的厚度約是008毫米。”
李老師說：“我們假設所用的那張很大很大的紙很薄很薄，比如說厚度隻有001毫米。現在開始估計吧!誰先說?”
小明說：“大概有1米高吧!”
小俐說：“大概有10米高吧!”
小聰說：“大概有3層樓房高吧!”
小伶注意到李老師露出神秘的笑容，便大著膽子說：“大概有中央廣播電視塔那麼高吧!”
小明搖搖頭，說：“哪能呢!要知道，中央廣播電視塔是北京最高的建築物，塔高405米呢!”
李老師也搖搖頭，笑著說：“你們估計得太保守了!你們能想像得出，這個高度比世界第一高峰珠穆朗瑪峰的海拔高度(小聰插話：8848米)還要高嗎?這個高度比2000層的摩天大樓(每層高度以5米計算)還要高嗎?不過這座摩天大樓，地球上還沒有出現，是我想像中的。”
同學們都驚奇得瞪大著眼睛，異口同聲地說：“哎呀!這麼高呀!可能嗎?!”
這張紙對折30次，疊成了230張，而每張紙的厚度是001毫米，所以這疊紙的高度是
230×001=1073741824(毫米)
≈10737(米)，
超過了世界第一高峰珠穆朗瑪峰的高度，也超過了想像中的兩千層高(以每層高5米計算)的摩天大樓的高度。
還有使你更為驚奇的呢!如果你把這張紙對折50次，那麼這疊紙的高度是