第五章學生數學發現的啟迪
1.數的善與惡
一提起畢達哥拉斯的名字，人們首先想到的是他那著名的定理，按照這個定理，直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。除了這個定理以外，畢達哥拉斯是否還有什麼別的發現，就很少有人知道了，可是，大家卻都知道這個定理正是屬於畢達哥拉斯的。
但是最令人詫異的是，我們甚至沒有充分的把握說世界上是否曾經確實有過畢達哥拉斯這樣一個人。關於他，人們編造了那麼多荒唐的故事，隻有幼稚無知的人才會對此信以為真。其中有這樣一個情節：有一天，畢達哥拉斯散步來到河邊。河流趕緊從河槽裏出來，並且高呼：“你好哇!畢達哥拉斯!”這類傳說的真偽，不言自明。
我們現在僅僅知道，在公元前6世紀這段和畢達哥拉斯的生活有關的時間裏，古希臘有一所大型的哲學數學學校，人們把這所學校的學生稱為畢達哥拉斯的信徒。這所學校所發生的一切事情都隱藏在秘幕之後。畢達哥拉斯學派的信徒們遵循所承擔的某種義務，把他們取得的所有成果都妄加在他們超人的老師畢達哥拉斯一個人的頭上。可是，很可能實際上根本不存在這個什麼“超人”的老師。
在人類社會的曆史中，不止一次地遇到過類似的現象。例如，就在今天，有一個法國數學家小組把自己所有的著作都用尼古拉·苯了巴吉這同一個名字出版。大家知道，沒有一位數學家叫這個名字，可是，這個小組的成員都情願做這樣的遊戲，他們發表意見時，從來不提整個的小組，而隻用苯了巴吉一個人的名義。
另一個是盡人皆知的科濟馬·普魯特科夫。在上一個世紀，三位俄羅斯作家——熱姆楚日尼科夫兄弟和阿·卡·托爾斯泰，就用這個筆名發表作品，他們塑造了這麼一個不可救藥的好發表長篇議論的人物形象，他善於以驚人的莊重煞有介事地說出一些老生常談。他們甚至還虛構了一份普魯特科夫的履曆。
可是，如果說人們現在知道實際上並不存在苯了巴吉和科濟馬·普魯特科夫這樣的人，那麼，在畢達哥拉斯這個問題上，我們就沒有這種把握，因為我們和所研究的那個時代相隔2500年之久。我們隻能說：不能排除這種情況，即作為一個人，畢達哥拉斯並不存在。但我們確信：冠以畢達哥拉斯名字的定理是巴比倫人在他一千多年以前發現的。很可能像已經指出過的那樣，埃及人也熟悉這個定理。當然，不能排除畢達哥拉斯學派的門徒們獨立於巴比倫人或埃及人單獨地發現了這個定理的情況，但無可爭議的是，這一發現的優先權不屬於畢達哥拉斯學派。
有趣的是，盡管我們連實際上是否有過畢達哥拉斯這個人都沒有把握斷定，我們卻擁有他相當詳細而又引人注目的傳記。據說，在公元前580年，畢達哥拉斯出生於薩莫斯島，人們因此稱他為畢達哥拉斯·薩摩斯基，以免和另一個叫畢達哥拉斯·列基斯基的雕刻家相混淆(後者也出生於薩莫斯，但是在列基亞城生活和工作)。按照當時許多富有的年輕人的慣例，畢達哥拉斯年輕時曾經多次進行對他頗為有益的旅行。他遊曆過巴比倫、地中海東岸各國和埃及。他在埃及時，正值波斯國王岡比希侵略這個國家。在一座高大的金字塔的石牆附近，畢達哥拉斯和其他人一起被俘。可能和別人一樣，有一段時間他變成了奴隸。可是，他作為一位聖賢和術士的聲望在當時已經如此之高，以至於當岡比希國王得知是誰成為他的俘虜時，當即就命令馬上釋放畢達哥拉斯，而且可以斷定，還極為誠摯地向他道了歉。
當畢達哥拉斯返回故鄉薩莫斯時，人們把他當作一位偉大的學者和術士來歡迎。據說，他從到東方遊曆那時起，就接受了穿當時迦勒底術士所穿的豪華的衣服的習慣。這種衣服其中一個主要部分就是有一條華美的頭飾。有一幅畢達哥拉斯的畫像，畫的就是戴著外國式樣的華麗的赫拉克勒斯(希臘神話中最偉大的英雄)式的威武的形象。可是，即使我們假定有畢達哥拉斯這個人，他是否是畫像中的那樣，是誰也沒有把握斷定的。
薩莫斯島上的青年開始聚集在這位聖賢的周圍。這些青年大都出身於貴族家庭。這樣，就成立了學校。這所學校的一切都仿照東方的習俗，籠罩著不可思議的神秘氣氛。例如，據說不是所有的畢達哥拉斯門生都有資格見到自己的老師。那些既有資格見到老師，又有資格聽他教誨的，才是名副其實的學生。而那些隻有資格聽課，卻見不到老師的，被稱為旁聽生。有些杜撰畢達哥拉斯傳記細節的無聊作者由此推斷說，畢達哥拉斯教書的房間是用麻布一隔兩半的，老師本人所在的那半間坐著學生，另半間留給旁聽生用。
在學校學一些什麼呢?主要是哲學和數學。古希臘時代，這兩個學科不像我們今天所看到的這樣彼此分開。當時，每一位哲學家通常也是數學家，反之亦然。然而，對於畢達哥拉斯學派的門徒們來說，這種哲學—數學具有這樣一種先驗的、神秘的性質，其中有許多東西既來自於輪回(關於靈魂轉世的神秘學說)，又來自於迦勒底人的神秘(關於數的神秘性質的學說)，等等。
可是，聚集在畢達哥拉斯周圍的年輕人很少隻是學習科學。他們很快就介入島上的政治生活，而置薩莫斯島的獨裁者波利克拉特的態度於不顧。“獨裁者”這個詞，在當時還沒有它後來所獲得的基本意義。當時的獨裁者通常是普通市民，也就是人民利益的代表，因此是反對貴族的。畢達哥拉斯的門徒們的貴族傾向不合波利克拉特的意，他們的學校很快就被搗毀了。神秘數學的信徒們連同他們超人的老師一起，被迫從島上逃跑了。他們很可能是沿著整個地中海遷移。他們大部分定居在被稱為偉大國家的希臘。亞平寧半島的南部和西西裏島也因此而獲得了偉大的稱號。畢達哥拉斯本人定居在塔連特，他在那裏又當上了校長。年輕人又像在薩莫斯那樣聚集在他的周圍，可是，這所學校遭到了和薩莫斯島上的那所學校同樣的命運。畢達哥拉斯遷移到科羅多尼，又從那裏跑到米太旁登，他80歲或者90歲時，死於米太旁登街道上的一次夜間搏鬥之中。
畢達哥拉斯學派特別喜愛的數學領域之一是數論。當時，吸引他們的乃是數的某些符合他們帶有東方神秘色彩的神秘哲學的性質。
畢達哥拉斯學派認為，世界上的一切都服從於整數的比數所服從的那樣的規律。他們發現，在用力相等的情況下，弦長的比數等於像2∶3、3∶4等等自然數的比數時，各弦就同時發出諧音。他們把這種局部的現象推及到整個宇宙。這樣，按照他們的學說，地球、月亮、當時已知的所有的行星以及太陽都圍繞著某個中心火球的球麵旋轉。這些球麵的半徑同樣也有和發出諧音的弦長那樣的比數。任何可以列舉出來的宇宙中的物體，在其運動時似乎也都發出這樣的諧音。
盡管畢達哥拉斯學派的宇宙構造論帶有神秘的性質，盡管畢達哥拉斯學派所指的這個中心不是太陽，而是某個不存在的中心火球，但地球圍繞著某個中心旋轉的思想卻是正確的。
畢達哥拉斯學派把所有的整數分為善的和惡的兩種。奇數為善的，偶數為惡的。單位數1被認為既是善的又是惡的開始，因為善的奇數加上它就變成為惡的數，而惡的偶數加上它就變成為善的奇數。
畢達哥拉斯學派思想中的許多東西在數學中得到了進一步的發展。從畢達哥拉斯學派所研究的數論中自然提出了許多問題，由此導出了非常重要而又難以得到的結果。
也就是在畢達哥拉斯學派正陶醉於這種宇宙的整數諧音的時候，他們發現，原來還有一些不能寫成整數的比數的數。例如，2就是這樣一個數。這使他們如聞霹靂，大為震驚。
為了回答這個問題，我們還是回到畢達哥拉斯定理上來。我們不禁想到，一個直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。這裏，我們會取一個每條直角邊都等於1的等腰直角三角形。那麼，根據上述定理，斜邊的平方等於2，因此斜邊本身等於2。但是，2不可能寫成兩個整數的比數。今天，都知道這個數是無理數。畢達哥拉斯學派自己顯然沒有明確的無理數的概念，但是他們發現了這樣一個事實，就是有些線段的長度無法使它們和整數的比數相等。這一發現從根本上和他們的“整數”哲學相抵觸。他們怎麼辦呢?除了他們心裏想到的以外，什麼也沒有做。他們設法隱瞞了自己的發現，不讓未得真傳的人們知道。沒有無理數!什麼也沒有!有的隻是整數和它們的比數!
然而，想瞞也瞞不住，誰也無法長期隱瞞這一發現，過了一段時間，無理數的秘密就開始被不是畢達哥拉斯學生的那些人知道了。據說，這個秘密是被畢達哥拉斯的一個名叫基普帕斯的學生泄露出去的。從畢達哥拉斯學派的觀點來看，這是駭人聽聞的罪行!要知道，他們每個人入學時，都莊嚴地宣誓要始終嚴守秘密，然後才能允許入學。現在卻出現了違背這一誓言的罪人。怎樣處置他呢?畢達哥拉斯的門徒們祈求神靈的幫助。當基普帕斯的船隊載著大量的貨物返回故鄉的港灣時，海神普賽登使他遭受到了可怕的暴風雨。暴風雨開始衝散了船隊，然後使船連同船主一起沉沒。這個傳說當然是畢達哥拉斯的門徒們自己編造出來的。
顯然，很難想象一個埃及人如果知道了有什麼長度不能用整數的比數來表示，他們會多麼憂愁。埃及人還根本不能把類似的事實當作具有原則意義的事實，他們沒有達到這樣的數學程度。到了畢達哥拉斯時，這些事實的原則上的重要性已經充分地認識到了。這時，對於我們下麵要研究的那些問題已經產生了興趣。從它的實用價值來看，這些問題可能被認為是不重要的，但在作為一種科學理論的數學中，卻是非常重要和必要的。