不應當這樣認為：不能直接從某一個科學的事實中得到利益，就隻能使這個事實成為理論的財富。理論本身是人類實踐活動的產物，對於理論具有價值的東西，從實踐這個詞最直接的意義上來說，歸根到底，對於實踐也是重要的。
2.驚人的預言
自牛頓和萊布尼茲創立微積分到現在，已經三個世紀了。恩格斯說：在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發明那樣，被看作是人類精神的最高勝利了。
下麵，講幾個早期的例子，看看微積分是怎樣推動自然科學向前發展的。
地球的模樣
18世紀的歐洲，隨著科學的進步，人們逐漸認識到地球不是一個很圓的球體，而是有一點扁，是一個扁球體。地球是怎樣扁法的呢?在那時卻有著兩種截然不同的認識，形成了兩個對立的學派。
一派是以法國巴黎天文台台長卡西尼為首的法國科學家。他們根據法國哲學家笛卡兒的宇宙學說，認為地球在南北兩極是伸長的，像一個直立的雞蛋。但是，牛頓利用力學原理，用微積分等數學工具，對地球的形狀進行了計算，算出地球的形狀在兩極是扁平的，扁平率為1230。這就形成了另一派。兩派爭論激烈，誰也說服不了誰。
為了讓事實作出回答，1735年，法國巴黎科學院同時派出兩支測量遠征隊，進行大地測量，以便判定誰是誰非。一支測量隊到南美秘魯的別魯安，另一支測量隊到北方的拉普蘭德。測量的結果，表明了地球是扁平的。
地球扁平形狀的確定，是牛頓力學的勝利，也是微積分的勝利。
哈雷的功績
彗星是一種特殊的天體。它有一顆明亮的彗頭，拖著一條美麗的彗尾。在很長的時期裏，人們不了解彗星是什麼東西，以為它在天上一出現，地上就要發生大災大難。
科學從它產生的那天起就是反對迷信的。1682年，英國天文學家哈雷，對那一年出現的一顆彗星進行了計算，又整理了從1337年以來有關彗星的記錄。他根據微積分計算出來的結果，宣布這顆彗星在1758年還要回來的。
1743年，法國數學家克雷羅，考慮到木星和土星對這顆彗星的影響，用微積分重新進行了計算。克雷羅指出：這顆彗星由於受木星和土星的影響，將不在1758年，而是在1759年再一次出現。到了1759年，這顆美麗的彗星果然又一次出現在夜空中。
這顆彗星的按期出現，證實了哈雷預言的正確，為了表彰哈雷的功績，後來，人們就把這顆彗星叫做“哈雷彗星”。
在我國史書上，有這顆彗星出現的最早和最完整的記載，第一次是在公元前611年。
把數算錯了
細心的科學家有時也會算錯數。根據推算，哈雷彗星將於1910年再一次出現。可是，因為在計算哈雷彗星軌道時算錯了數，他們曾預言在1910年，哈雷彗星會與地球迎麵相撞，一起毀掉。於是，教會乘機大作文章，說什麼1910年是“人類的末日”。有的人害怕地球與哈雷彗星相撞，趕忙賣掉財產，吃喝玩樂之後，跳樓自殺了。後來科學家發現軌道計算錯了，又重新進行了計算，結果是地球並不會與哈雷彗星迎麵相撞，而隻是穿過哈雷彗星的尾部。
一波未平，一波又起。又有人造謠說哈雷彗星的尾部是由劇毒氣體組成，人類即使不被哈雷彗星撞死，也會被劇毒氣體熏死。有人出主意，讓每家準備好大水缸，裝好水，等哈雷彗星一到，人立刻鑽進水缸裏去。還有的藥店，兜售什麼“彗星藥丸”，說吃了就可以不被毒死。
1910年，人們懷著緊張的心情，等來了哈雷彗星。可是，除了看見美麗明亮的哈雷彗星外，全世界安然無恙。
根據計算，哈雷彗星下一次將於1985年末出現。
發現海王星
太陽係有九大行星。由裏往外數，最外麵的三顆，依次是天王星、海王星和冥王星。這三顆行星，因為離地球越來越遠，不容易看到，所以一個比一個發現晚。
1781年，英國天文學家赫歇耳，用望遠鏡發現了天王星。在研究天王星運行軌道時，發現實際觀察的軌道，與根據力學原理，用微積分等數學工具計算出來的軌道不相符合。這是為什麼呢?當時就有人預言：在天王星的外麵，可能還存在著一顆尚未發現的新行星。可是，在無邊無際的天空，到哪兒去找這顆新行星呢?
64年過去了。到了1845年，英國劍橋大學數學係學生亞當斯，根據力學原理，利用微積分等數學工具，進行了一係列困難的計算，算出了這顆新行星的軌道。這年10月21日，他把計算的結果，寄給了英國格林威治天文台台長艾利，可惜沒有引起重視，也沒有人用望遠鏡去尋找這顆新行星。
比亞當斯稍晚，法國巴黎天文台青年科學家勒威耶，用微積分等數學工具，計算了由幾十個方程組成的方程組，算出了這顆新行星的軌道。1846年9月18日，勒威耶寫信給當時擁有詳細星圖的柏林天文台的伽勒。他在信中寫道：“請你把你們的天文鏡指向黃經326°外的寶瓶座內的黃道的一點上，你就將在離此點的1°左右的區域內，發現一個圓麵顯明的新行星。”伽勒於1846年9月23日夜間，就在離所指點相差52′的地方，發現了這顆新行星。人們給它取名海王星。
這顆新行星的發現，完全是根據力學原理，用微積分等數學工具算出來的。因此，人們稱海王星為一顆筆尖上的行星。
1915年，美國天文學家洛韋耳，用同樣方法算出了太陽係中最遠的一顆行星——冥王星的存在。1930年，美國的湯波真的發現了這顆行星。
利用微積分進行計算，人們還解決了月亮會不會撞到地球上的問題。
當時天文觀測的結果表明，月亮的軌道正在不斷縮小。人們開始擔心是不是有那麼一天，月亮會和地球相撞呢?後來用微積分計算，證明了月亮軌道的縮小是周期性的，縮到一定程度後還要開始膨脹，根本用不著杞人憂天，擔心月亮和地球相撞。
一門生命力強的學科，必須有堅實的理論基礎。微積分的基礎是極限理論。微積分創立於17世紀，可是極限理論的提出卻相當晚，它是在19世紀，由法國的柯西和德國的維爾斯特拉斯提出來的。
在極限理論產生之前，人們對微積分的基礎有著各種不同看法和爭論。當時，雖然在科學研究中廣泛使用微積分，可是對於什麼是微積分的基礎，卻沒有一個共同的認識。恩格斯說過：大多數人進行微分和積分，並不是由於他們懂得他們在做什麼，而是出於單純的相信，因為直到現在得出的結果總是正確的。
極限理論的產生，統一了人們的認識，推動了微積分的發展。
1960年，美國數學家魯濱遜運用數理邏輯的科學方法，把微積分建立在一種新的數學理論之上。科學家為了區別以極限理論為基礎的微積分，把在新基礎上建立起來的微積分叫做“非標準分析”。
非標準分析問世20年來，引起了數學界的廣泛注意，也產生了一些不同的看法。有的數學家認為，非標準分析比傳統的微積分更嚴謹，更適用於進行理論上的探索。也有的數學家認為，非標準分析把傳統微積分中豐富的思想砍掉了；個別人甚至把傳統微積分比做一個美女，說非標準分析是一具“美女的骷髏”。
認識在爭論中提高，科學在爭論中發展。明天的微積分，一定會更加完善、充實和有用!
3.二十世紀數學的領航人
19世紀最後一年——1900年的夏天，在巴黎塞納河畔舉行的第二次國際數學家代表大會上，一位30多歲的年輕數學家在他所做的報告《數學問題》中，提出了23個數學問題，總結他那個時代的數學研究。在此後的數十年裏，這23個問題幾乎完全左右著數學發展的方向，對20世紀的數學發展產生了巨大的影響，為許許多多的數學家們帶來歡樂，也帶來苦惱。這個提出23個問題的人，便是德國數學家希爾伯特(1862～1943，1888年他以獨創方式發展了不變量的數學，證明了不變係的基的有限性)。後來，這23個問題被稱為“希爾伯特問題”。
希爾伯特於1862年1月23日生於德國的哥尼斯堡(現今為俄羅斯的加裏寧格勒)。希爾伯特的母親是一位對哲學和天文學極有興趣的女性。希爾伯特從小便受到母親的熏陶，這為他後來的成長產生了良好的作用。
希爾伯特幼年時記憶力很差，理解概念的反應速度也極慢，經常受到老師的批評。後來上中學時，他結識了猶太人閔可夫斯基家才華出眾的三兄弟。希爾伯特希望自己能像閔可夫斯基兄弟那樣，受到人們的尊重。他努力克服自身的弱點，深入體會數學中的概念，在閔可夫斯基兄弟的影響下，希爾伯特找到了他喜愛的科目——數學。
後來，他分別在哥尼斯堡大學、海德堡大學學習。數學名家富克斯的數學思想深深影響了希爾伯特，後來他又返回哥尼斯堡大學。不久，閔可夫斯基、希爾伯特和年齡稍大一些的赫維茨，成了哥尼斯堡數學圈子裏著名的“三劍客”。他們幾乎討論了數學各個領域的問題，相互交換獲得的研究成果，交流彼此間的想法和研究設想。