從《植樹問題》說開去
教學交流
作者：張丹
【摘要】“數學是關於模式的科學”這一觀點如今已得到了普遍的認同，那麼怎樣才能變成普通模式呢？關鍵是要把“生活情境”去掉，要從具體的“植樹問題”抽象成“間隔問題”，重要的手段就是引進符號，著眼點由原來的現實情境轉移到“一一對應”的關係上，也就是要進行一種數學抽象活動，抽象出一個相同的結構，普遍的模式。
【關鍵詞】模式抽象符號一一對應
《植樹問題》有兩種不同的教學活動：第一種是重點分析植樹問題的三種類型：“兩端都種”“隻種一端”和“兩端都不種”。強調“三種類型”的區分以及相應的“加1”“減1”的計算法則，要求學生牢固掌握並能直接加以運用。第二種是以“植樹問題”為原型引出普遍性的數學模式，包括路燈問題，鋸木頭問題，爬樓問題、敲鍾問題等。
究竟何者應該被看做這一教學活動的重點？什麼又是這一教學活動的真正難點？筆者的看法是普遍的數學模式更重要，如果學生未能清楚地認識到路燈問題、鋸木頭問題、爬樓問題、敲鍾問題等都與植樹問題有著相同的數學結構，也即可以被歸納為同一個數學模式，對他們來說“這究竟屬於‘植樹問題’的哪個類型”這樣的問題就完全沒有意義。
那麼怎樣才能變成普通模式呢？關鍵是要把“生活情境”去掉，要從具體的“植樹問題”抽象成“間隔問題”，重要的手段就是引進符號（○，△，□……），著眼點由原來的現實情境轉移到“一一對應”的關係上——樹和間隔的一一對應，也就是要進行一種數學抽象活動，抽象出一個相同的結構，普遍的模式，進而可知，“加1”“減1”等法則隻是依據這一基本模式作出的適當變化，也即依據基本模式並通過適當變化以適應變化了的情況。
在剛才的研究中，反複出現了“模式”一詞，“數學是關於模式的科學”這一觀點如今已得到了普遍的認同，以模式論的數學觀為指導組織數學課堂教學也已成為許多教師的研究課題。
筆者將提供小學階段的一個課例，與讀者一起來研究如何從現實的生活問題中歸納建立適用的數學模式。
六年級上冊：解決問題的策略——假設
例1：全班42人去公園劃船，一共租了10隻船。每隻大船坐5人，每隻小船坐3人。租用的大船和小船各有幾隻？
筆者研究了《解決問題的策略——假設》的課例，教科書呈現兩種方法：畫圖假設和列表假設。教師在教學過程中往往孤立了兩種方法，忽略了兩者的溝通和聯係，這必然導致學生腦海中的知識呈現出一個零散無序的狀態。那麼如何溝通兩者之間的聯係呢？如何幫助學生找到解決此類問題的基本方法呢？其實無論是畫圖假設，列表假設，亦或直接列式，都基於一個共同數學模式下：假設——分析——調整——檢驗。我們來分析這一數學模式，進而感受一下這一縝密的邏輯推理的過程。