N.I.Lobachevsky
（1792-1856）
幾何學的哥白尼
在曆史上，稱一個人是某個領域的哥白尼，是非同尋常的。這種稱號如果不是表示最崇高的讚美，就一定是最嚴厲的譴責了。有人用最美好的語言來讚美哥白尼，因為他的日心說戳穿上帝創造的地球是居於宇宙中心的神話，動搖了幾千年來神權對自然科學的統治。歌德認為，“哥白尼學說撼動人類意識之深，自古以來無一種創見、無一種發明可與倫比。”不過，用最惡毒的語言辱罵哥白尼的，在曆史上也大有人在。他們罵他是瘋子，是白癡，是死有餘辜的叛逆，因為他居然向至高無上的上帝挑戰，褻瀆基督教的教義，威脅教會的統治。
考察一下俄國數學家羅巴切夫斯基創立的非歐幾何和它對人類思想的深刻影響，我們一定會讚同數學家克利福德的一句名言：
“羅巴切夫斯基——幾何學的哥白尼！”
到喀山去
1792年12月1日，尼古拉·伊凡諾維奇·羅巴切夫斯基誕生於俄國西北部的馬卡裏耶夫城。家裏有兄弟3人，尼古拉排行第二。父親是當地從事測量的小職員。尼古拉7歲的時候，父親不幸病故。撫養3個孩子的重擔就落在母親帕拉斯可娃·伊凡諾夫娜的肩上。父親在世的時候，微薄的薪水要養活5口之家已經相當勉強，現在就幾乎陷於絕境。不過，帕拉斯可娃是個精明能幹、意誌堅強的俄羅斯婦女。縱然前麵有難以想象的困難，她決心接受命運的挑戰。白天，她在外麵當幫工，幹雜活，晚上再為人家縫洗衣服，含辛茹苦，攢下每一個掙來的戈比。一家人，今天吃的是黑麵包加鹽，明天吃的是鹽加黑麵包。艱辛生活的本身就是個好老師。孩子們雖然營養不良，身體羸弱，但是個個聰明伶俐，十分懂事。他們看著媽媽額頭上的皺紋一天天增加，金色的秀發很快變成灰白，但是從來沒有聽到她一句埋怨，一聲歎息。他們要像媽媽那樣，做生活的強者，決不向命運屈服。在學校裏，他們是數一數二的好學生；在家幫助媽媽幹活，大家都爭先恐後。雖然生活艱苦，一家人親愛和睦，心裏是溫暖甜美的。對於一位母親來說，還有什麼比這更感到欣慰和引以為驕傲呢？
1801年夏天，尼古拉以優異成績從小學畢業。尼古拉的老師帶著獎狀和獎品來拜訪帕拉斯可娃。他一向同情和尊重尼古拉的母親。今天他打算同她談談對於尼古拉今後的建議。作為老教師，他教過的學生數也數不清。馬卡裏耶夫國民小學一成立他就在這裏教書了。可是像尼古拉這樣的好學生，這樣討人喜歡和牽動他的心，還從來沒有過。馬卡裏耶夫是個閉塞的小城，要什麼沒有什麼。省城喀山的條件就不同。尼古拉三兄弟的學習都很好，完全可以考公費生。聽說那裏還要創辦大學呢。不過老師的心裏有點猶豫。他知道，要一個婦道人家帶著3個小孩，到千裏之外的陌生城市去生活，會遇到什麼樣的困難，而且到哪裏去籌路費呢？但是想來想去，為了孩子的前途，他還是鼓起勇氣說出自己的想法，並且熱情地表示願意承擔一部分路費。老師的建議使帕拉斯可娃深受感動。她雖然識字不多，卻很有頭腦，她了解自己的孩子。今天聽到老師的誇獎，更堅定她的信念。和天下的母親一樣，為了孩子的前程，帕拉斯可娃願意做出一切犧牲。在她看來，到喀山去，並不是做不到的事。
新的生活在召喚。一個月以後，羅巴切夫斯基一家毅然踏上去喀山的旅程。烏拉爾的夏天是迷人的。翩翩起舞的白樺樹林，潺潺的溪流，如鏡的湖泊，襯托著遠處蒼莽的群山，景色如畫。一家人餐風宿露，曆盡艱辛。可是他們的心裏充滿著美麗的憧憬，倒忘卻了旅途的疲勞。聽著遠處傳來的伏爾加河上纖夫隱約的號子聲，他們朝行夜宿；遇上好心腸的馬車夫，就順路搭一程便車。經過半個多月，喀山城遙遙在望，教堂的金色尖頂在陽光下閃閃發光。喀山城在向他們招手呢！
一身數任
尼古拉三兄弟果然不負母親和老師的殷切期望，先後以優異成績作為公費生考入大學預科學校（相當於現在的中學）。這時尼古拉才8歲。尼古拉門門功課成績優秀，數學和古典文學的成績尤為突出。1806年，14歲的尼古拉考入兩年前剛成立的喀山大學。為了向歐洲的名牌大學看齊，學校特別聘請天文學家李特羅和數學家巴蒂爾等著名德國科學家來校執教。尼古拉出眾的數學才華很快引起德國教授們的重視。他們邀請他來家裏做客，還慷慨地允許他隨意借閱他們的私人藏書。尼古拉的數學老師巴蒂爾教授是高斯的小學老師和好朋友，來喀山大學任教以後，仍和高斯保持著通信。他了解高斯對非歐幾何的見解，對尼古拉後來非歐幾何思想的形成有一定影響。
1811年夏天，尼古拉大學畢業。按理說，學校應該授予他碩士學位。可是昏庸的校長不但不認為出了這樣年輕的天才是學校的驕傲，反而覺得把學位授予一個不到19歲（還差3個月）的孩子是有失“體統”。校長的決定一宣布，教授們一片嘩然。他們提出，如果不把碩士學位授予各科成績優秀的尼古拉，那就誰也不配獲得這個稱號。在教授們的嚴詞責問下，校長隻得收回成命。
這期間，尼古拉的哥哥阿曆克賽在喀山大學負責為當地的小公務員講授數學。不久，阿曆克賽因病離職，尼古拉就接替他的工作。1814年，喀山大學任命他為助理教授（相當於副教授和講師之間的一種職稱）。兩年以後，羅巴切夫斯基晉升為數學教授。不過，這絲毫不意味著他有充裕的時間從事研究，恰恰相反，他的教學任務反而大大加重了。除了教授數學，他還得教授天文學和物理學，因為貪婪的校長一心想少聘幾個教師，把多下來的錢裝進自己的腰包。知識淵博、埋頭苦幹的羅巴切夫斯基就成為加重負擔的最好對象。說實在的，羅巴切夫斯基的能力的確超乎尋常，再重的工作壓下來，他都能圓滿地完成。第二年，貪得無厭的校長看到羅巴切夫斯基還有潛力可挖，就幹脆把圖書館和博物館也交給他兼管起來！
圖書館因為長期無人管理，書籍堆積如山。博物館同樣混亂不堪。動植物標本缺肢斷臂，東倒西歪；礦物標本積滿灰塵。羅巴切夫斯基從教室裏口幹舌燥地講課回來，來不及喝上一口水，就得脫掉上衣，卷起褲腿到圖書館和博物館幹活。撣灰塵，擦地板，修理門窗，給標本分類，忙得滿頭大汗。經過羅巴切夫斯基的辛勤勞動，破破爛爛的圖書館和博物館很快被收拾得井井有條，麵貌煥然一新。誰知這個成果隻是使校長又得到一次撈錢的好機會：任命羅巴切夫斯基兼任喀山大學理學院院長。不用說，財迷心竅的校長不肯破費分文為羅巴切夫斯基配備一名助手。
惱人的平行公理
精疲力竭的羅巴切夫斯基回到家裏，身子往椅子上一靠，一動也不想動了。他的眼皮不覺漸漸發沉，很快發出輕輕的鼾聲。妻子望著丈夫清臒的臉龐，把毯子蓋到他的身上，愛憐地搖搖頭。6月的喀山是一年中最好的時光，草色青青，百花吐豔。看著人家的小兩口，推著小車，帶著心愛的小寶寶，有說有笑地在花園裏散步，真叫人羨慕。結婚3年來，羅巴切夫斯基夫婦還沒有享受過這樣的歡樂。可是，看到丈夫累成這副模樣，妻子本來到了嘴邊的埋怨，也就變成無聲的歎息。
晚飯以後，羅巴切夫斯基又精神抖擻地開始工作。他時而在紙上寫著畫著，時而陷入沉思，激動的時候，他就推開椅子在房間裏踱來踱去。喧鬧的喀山城在夜色的撫慰下安靜下來，可是，羅巴切夫斯基的腦海裏卻像翻滾的波濤難以平靜。他不是在為喀山大學拮據的經費發愁，也不是在為天文係的籌建操心，使他激動不已的是一條每個中學同學都熟悉的幾何學上的公理——歐幾裏得平行公理。
歐幾裏得公理是幾千年來人們公認的真理，清楚明白，一目了然，那裏麵有什麼東西值得羅巴切夫斯基這樣激動呢？要說清這個問題，先要簡單地回顧一下曆史。早在公元前300年左右，位於尼羅河三角洲北端、瀕臨地中海的亞曆山大城裏的歐幾裏得，總結前人和同時代學者對幾何的知識，寫了一部著名的《幾何原本》，一共13篇。這就是歐幾裏得幾何或者叫歐氏幾何。歐幾裏得由定義、公理出發，根據嚴格的邏輯，推導出初等幾何的全部定理和命題。它是這樣的嚴密和完美，以致兩千多年以來，數學家和哲學家用盡美好的詞語來讚美它，把它奉為至高無上的唯一的幾何真理，而它的邏輯結構大概比世界上任何其他著作更大地影響科學思想的發展。如果不計數量眾多的手抄本，自從印刷術發明以來，《原本》至少已經有1000多種版本。今天中學幾何學的內容，基本上就選自《原本》13篇中的6篇，而且有的地方一字未改。
學過平麵幾何的讀者一定記得，在幾何學裏，為了保證論證的嚴密性，在每一步推理後麵必須注明理由。比如說，為了說明兩個角相等，就得指出，是因為它們是對頂角還是因為它們是平行線的內錯角等等。像對頂角或內錯角相等這一類論據，在幾何學裏叫做定理。那麼定理是怎麼來的呢？它們是由定義和公理根據邏輯推理得到的。舉例來說，為什麼對頂角∠1和∠2相等？從附圖中可以看出，那是因為∠1＋∠3等於一平角，∠2＋∠3也是一平角；從兩個平角裏各減去∠3，它們的餘量∠1和∠2應該相等。為什麼餘量應該相等？這裏是根據一條公理：“等量減等量，餘量相等。”說到這裏，可能有人還要問下去：那麼公理又是根據什麼得到的呢？這就有點為難。在當時占統治地位的康德哲學認為，歐幾裏得幾何的公理是必然的、先天的觀念，它出自純粹的理性，是先驗性的，和經驗無關。因此，有的人就幹脆把公理看做是上帝的宇宙設計的一部分。不過，一般認為，公理，公理，顧名思義是公認的真理，要說它有什麼根據，那就是它和人類無數次的實踐經驗相一致。像歐幾裏得幾何的第一公理：“兩點間可以作一條直線。”人們認為它符合於我們的實踐經驗，直觀可靠，不證自明。歐幾裏得幾何就是建立在為數不多的這樣幾條公理基礎之上的一個嚴密的體係。可惜的是，在歐幾裏得精心製作的這件精美絕倫的“天衣”上，人們發現一條小縫隙：歐幾裏得的平行公理並不像其他的公理那樣直觀和不證自明。這條公理是這樣的：