幾十年後，回憶起自己的巴黎之行，陳省身仍難掩欣喜之情：“事後想來，我想這是一個很正確的決定。因為，嘉當的工作當時能夠理解的人不多，我得意的地方就是很早進入這一領域，熟悉了嘉當的工作，使我後來能夠沿著他的發展方向，繼續作一些貢獻。”
短短10個月，陳省身與嘉當，這一對年齡相差40餘年的師生，結成了忘年之交。在戰火紛飛的歲月，他們的通訊不斷。在信息和資料極端匱乏的大後方，嘉當寄來大量複印本供陳省身研讀。嘉當一生的論文多達6000頁；陳省身讀了十之七八。嘉當還推薦陳的論文在法國的雜誌上發表。嘉當的小兒子路易是普瓦蒂埃大學的數學物理教授，因參加反法西斯抵抗運動1943年10月被德軍槍殺，遺下3個年幼的孩子，給嘉當的生活造成巨大的壓力。陳省身雪中送炭，從普林斯頓不時寄去食品包裹，並報告自己的研究成果。他們的友誼成為數學史上的一段佳話。
在巴黎，陳省身還抓緊時間聽了蒙泰爾（1876-1975）的多複變函數論課程；參加了阿達瑪的討論班。10個月緊張的取經結束了。清華大學聘他為數學教授，等待他回國赴任。陳省身向恩師嘉當珍重道別。可是還沒有離開巴黎，盧溝橋事變爆發。這裏有一個小插曲。日本青年矢野健太郎當時也在巴黎向嘉當學射影聯絡。陳省身和他經常在龐加萊數學研究所嘉當辦公室門口見麵。兩人總是互相問候，交談幾句。7月7日那天，矢野得知陳省身即將回國，遠遠見了他就跑過來打招呼。陳省身剛聽到七七事變的消息，對日本軍國主義的侵略行徑正感到有一肚子怒火無處發泄，見到矢野過來，頭一扭理也不理！矢野一時沒有反應過來，顯得十分尷尬。他不知道，一向熱情友善的陳省身今天怎麼會這樣怒不可遏。後來誤會消除，兩人言歸於好。1982年，陳省身為《矢野健太郎論文選》寫了序言：“矢野健太郎——我的老朋友”。
一個決定性的選擇
1937年7月10日，風和日麗。陳省身登上伊麗莎白號郵輪，起程回國。途中在紐約上岸，經橫貫美國的鐵路到達溫哥華，再搭海船前往上海。可是當船駛抵長江口時，隻見楊樹浦一帶火光衝天，上海已淪陷。清華大學也已撤離北平，去向不明。他隻得隨輪船轉往香港，到那裏再作計議。在香港滯留了一個多月，獲知北大、清華和南開在長沙組成長沙臨時大學，11月1日開學。陳省身聞訊立即趕往長沙，教授“微積分”和“高等幾何”。不久長沙告急。1938年2月，三校轉輾到達昆明，成立西南聯合大學。戰時生活雖然艱苦，但大家情緒高昂，堅信抗戰必勝。陳省身開設了一係列課程：“高等幾何”、“微分幾何”、“微分方程”、“黎曼幾何”、“投影幾何”、“網幾何”、“拓撲學”以及“李群”、“圓球幾何”、“外微分”等，培養了許多優秀的學生。教課之餘，繼續潛心研究嘉當寄來的論文。在巴黎的時候，美國幾何學家維布倫曾給嘉當寫信，詢問有關投影正規坐標的事。陳省身知道投影正規坐標可用多種方法定義，但都有缺陷。於是他提出一種基於嘉當幾何方法的定義，寫出論文《關於投影正規坐標》寄給維布倫，給後者以深刻的印象。1938年，論文在普林斯頓大學的《數學紀事》上發表。從此兩人常有書信來往，但從未謀麵。暑期陳省身隨鄭桐蓀經海防、香港到上海，看望正在那裏服侍母親的未婚妻鄭士寧。鄭是鄭桐蓀的女兒，燕京大學生物係二年級學生，在清華園有淑女之稱。促成這段姻緣的月下老人就是楊武之。1939年7月，鄭士寧赴昆明，兩人隨即完婚。家庭生活和諧美滿。不久妻子即有身孕，暑期隨父親鄭桐蓀赴上海探視病中的母親，並在那裏待產。從此陳省身與愛妻兩地相隔。直到1946年才得重逢，這時兒子伯龍已6歲。
重又過上單身生活的陳省身，繼續埋頭研究。根據幾年來對積分幾何的研究，他不顧敵機的狂轟濫炸，在昏暗的煤油燈下，又寫出論文《關於克萊茵空間的積分幾何》，發表在普林斯頓大學的《數學紀事》上。該文由韋伊審稿，他對作者的非凡才能和深刻見解留下很深的印象。
在常人看來，陳省身真可謂一馬平川、稱心如意。年紀輕輕成為數學博士，當上了清華大學教授，除了講課，每年總有多篇論文在國內外雜誌發表，有一位賢惠的妻子，還有一個可愛的兒子。可以說，一般人一生所孜孜追求的，陳省身已經擁有。但是他很是苦惱，新婚的妻子和剛出世的兒子，遠在日寇鐵蹄下的上海，令他夢魂縈繞。特別是他還沒有到達他早年所向往的那座美麗大山的山頂，去揭開那神秘的麵紗。他清醒地意識到，自己“已不是學生。對於傳統的微分幾何，我的了解和我所掌握的工具，自信不在人下。我要搞整體微分幾何，便需要拓撲、李群、代數幾何和分析等”。可是在昆明，遠離數學主流、信息閉塞的缺陷日益凸現。他有一種預感，隻要有某種契機，他一定會作出令人刮目的成績。經過反複考慮，他作出了一生有決定意義的大決定：到普林斯頓去！理由很簡單，因為那裏有他崇拜的外爾。幾十年後，他這樣談到自己的治學心得：做學問就要知道方向。有一點我是終身受益的，那就是我不怕去找這方麵最好的人，也就是領袖人物。他認為，一定是要找最好的，不要滿足於找次一點的。找次一點的，也可以發展，但差得很多！陳省身說，在黎曼和龐加萊之後，他最佩服的是嘉當和外爾。德國數學家外爾1885年出生於漢堡附近的埃爾姆斯霍恩，是20世紀上半葉最偉大數學家之一。1907年在希爾伯特指導下，完成博士論文《奇異積分方程，特別考慮傅裏葉積分定理》。1910年獲無薪講師資格；1913年受聘任蘇黎世的聯邦工業大學教授。1930年回格丁根繼承希爾伯特的教授職位。1933年任格丁根數學研究所所長。同年夏天，由於妻子是猶太人被希特勒驅逐，赴美受聘普林斯頓高等研究院教授。他的重要著作《黎曼曲麵的觀念》第一次給黎曼曲麵奠定嚴格的拓撲基礎。他的幾何工作直接導致一般微分幾何學特別是聯絡和纖維叢等概念的發展，在廣義微分幾何、拓撲、李群、分析、積分方程、數學物理等均有重要貢獻。另一位陳省身最希望相見的是韋伊（1906-1998）。法國數學家韋伊是繼外爾之後最偉大的數學家。韋伊的故事頗有傳奇色彩。他是為了避戰，被投入監獄，並被判處死刑。後從法國逃到美國，在離普林斯頓不遠的一所學院教微積分。於是，陳省身給在普林斯頓擔任研究教授的維布倫寫信，詢問普林斯頓是否有可能在1942年為他提供一個職位。如果說他前幾次的選擇是“順理成章”的話，那麼這個決定無疑是一生最困難、最大膽和出乎意料的。這既反映出他對數學的癡迷和對“登峰造極”的追求，也顯示出他過人的智慧和膽識。20年後，陳省身這樣談到自己的這個決定：“那時大戰方酣，中美交通困難。一個可能的路線是從昆明飛印度，再坐船經好望角泛越大西洋赴美。想到德國潛水艇的活躍，這條路線自然相當危險。但我決心赴美，不顧一切困難。”又說“那時普林斯頓的經費很少，戰爭又正在進行，請人是很困難”。盡管如此，經過維布倫的積極活動以及外爾和韋伊的熱情支持，事情終於辦妥。他們認為，陳省身是迄今他們所注意到的最有前途的中國數學家，邀請他將是對中國數學的幫助。1942年2月，維布倫正式邀請陳省身訪問普林斯頓高等研究院，答應每年提供1500美元資助，並為他赴美的行程作了周密的安排。
獨步遙登百丈樓
等到一切安排就緒，已是1943年7月。陳省身向西南聯大提出請假一年。由於太平洋戰爭正激烈進行，赴美前借道上海與妻兒道別已不可能。當時美國陳納德將軍組織的飛虎隊從美國運送軍用物資到重慶、昆明，返程時可以搭載乘客。7月15日，天空晴朗，萬裏無雲。陳省身登上軍用運輸機飛往加爾各答。在加爾各答大學和數學會演講並會見了該校數學教授列維。8月1日繼續飛行，到卡拉奇，再經中非洲、跨南大西洋至巴西，11日抵邁阿密。8月14日到達風光秀麗的普林斯頓，一路走走停停，路上整整花了一個月。
在普林斯頓，陳省身受到同事們的友好接待。他深知這樣的機會來之不易。他一邊熟悉環境，一邊躍躍欲試。法國數學家謝瓦萊（1909-1984）那時在普林斯頓大學做助理教授，有一天陳省身正在他那裏，中途來了一位客人。瘦高的身材，濃密的頭發，戴了一副眼鏡，動作十分利索。兩人一介紹，都喜出望外。原來那人就是久聞大名卻並不認識的韋伊！兩人一見如故，談得十分投機。韋伊回憶起來，當年在巴黎，他作為布爾巴基學派領袖，似乎在討論會上曾見到過這位中國青年，因為那時的主題是嘉當的工作。
由於兩人相距不遠，所以後來經常見麵。兩人對嘉當的工作，對凱勒討論班中關於嘉當工作的精彩部分都有深刻印象；兩人都在漢堡認識凱勒：都對高斯-博內公式感興趣；都開始領悟纖維叢的重要；總之，兩人對數學的許多問題都有共同的看法，特別是兩人都不顧別人的先入之見，而直接對問題從根本上下工夫。有一次，韋伊向陳省身介紹前不久與同事艾倫多弗作出的關於高維高斯-博內公式的證明。聽到這個問題有了進展，陳省身的興趣立刻提了起來。這一公式吸引了眾多頂尖數學家的興趣。早在漢堡的時候，陳省身就對這一既優美又極端重要的公式入了迷。在西南聯大他已根據聯絡的概念，利用外微分，給出過二維高斯-博內公式的內蘊證明。但要推廣到高維，正如大拓撲學家霍普夫所說，這是微分幾何中最重要而又十分困難的問題。為什麼這個公式如此重要呢？學過平麵幾何的讀者一定知道，“三角形內角之和等於r”，它的重要性對平麵幾何是不言而喻的。在非歐幾何，橢圓式平麵上三角形內角之和大於r；而雙曲式平麵上三角形內角之和小於r。把它推廣到曲麵，那就是微分幾何中的高斯-博內公式。地位之重要可見一斑。它不僅重要，而且非常簡潔優美。一向要求近乎苛刻的高斯對自己的這個公式明確表示欣賞：因為它完全符合“優美”的和“重要”的數學條件。不過韋伊介紹的方法雖然巧妙但過於複雜，還不免有些生硬，特別是他們的證明用的是非內蘊的球叢，也就是說證明時要考慮曲麵所在的空間，因此問題還不能算完全解決。陳省身根據自己對二維高斯-博內公式內蘊證明的經驗，他認為應該走一條與他們不同的路線，以徹底解決這個難題。當然要在大師們都沒有想到的地方闖出一條新路，談何容易。它需要有能力，有“奇思妙想”式的靈感和創造性。他意識到，這正是攀登“這座美麗大山”的最佳路徑。他的腦子開始高速運轉起來。一天，靈感終於出現：為了得到內蘊的證明，為什麼不用長度為1的切向量叢試試？想到這裏大為興奮，立刻著手推導。果然成功！1943年10月，一篇劃時代的論文：《閉黎曼流形高斯-博內公式的一個簡單的內蘊證明》出來了！陳省身後來回憶說，我“利用外微分的方法，纖維叢的觀念，把高斯-博內公式看成龐加萊-霍普夫不動點定理的度量表示，引進超度的現象，得到高斯-博內公式最自然的證明。全文隻有6頁”。又說，“我用的是長度為1的切向量叢，而外爾、艾倫多弗和韋伊所處理的都是一種非內蘊的球叢，這一截然不同的方法，導致高斯-博內公式的徹底解決。”陳省身工作的意義，不僅是絕妙地證明了幾何學中一個極其重要而困難的定理，更在於他把拓撲學引進微分幾何，開創了大範圍微分幾何研究的新方法。
他所向往的“美麗的大山”的麵容漸漸顯露出來了！
隨著論文的發表，陳省身的名字不脛而走。拓撲學家惠特尼（1907-1989）任教的哈佛大學請他作報告，其他的大學紛紛跟進。1945年，美國數學會夏季大會上陳省身作《大範圍微分幾何若幹新觀點》的演講，係統闡述了他所發展的纖維叢理論和外微分方法。霍普夫（1894-1971）對此評論的第一句話就是：“這篇演講表示，微分幾何進入一個新時代了。”
考慮到高斯-博內公式二維時把歐拉-龐加萊示性數和曲率拉上關係，所以陳省身就想在高維時把斯蒂弗爾-惠特尼示性類和曲率拉上關係。但是，斯蒂弗爾-惠特尼類或龐特裏亞金類，因為限製在實係數，積分起來非常複雜。一個星期天，綠樹環抱的普林斯頓大學數學館的大門緊閉，四周一片寧靜。陳省身照常到辦公室去，因為每人都有一把鑰匙可以進去。在圖書館翻閱資料的時候他突然想到：為什麼不試試複向量叢呢？於是，1945年10月，又一篇重要論文《埃爾米特流形的示性類》發表了。該文發現了後來被稱為“陳類”的複流形上一種新的不變量，從而為整體微分幾何奠定了基礎。“陳類”在示性類中最重要、最有應用前途，也是現代數學中的一個基本概念。這兩篇劃時代論文引進的一些概念、方法和工具，已遠遠超出微分幾何與拓撲學的範圍，成為整個現代數學中的重要構成部分，從而奠定了他在國際數學界眾所矚目的地位。
又一次艱難的抉擇
正當他創造的思想不斷湧現，重要的成果接連誕生的時候，意外傳來母親病危的消息。陳省身想到自己長期在外奔波，沒有好好侍候過母親，心裏很感愧疚，便即刻終止研究工作，啟程回國。可是當他經芝加哥到洛杉磯時，傳來母親病故的噩耗，使他悲痛萬分。
戰後運輸擁擠，在舊金山等了6個月才得到船票。等到陳省身到達上海，已是1946年4月了。初次見到6歲的兒子，與闊別多年的妻子團聚，心裏當然有說不出的高興。
抗戰勝利，中央研究院遷址上海嶽陽路，由薑立夫任數學研究所籌備處主任。6月，薑立夫赴美進修。他力薦陳省身任主任。陳省身推辭不過，答應暫時代理。1947年，數學所成立。薑立夫再次推薦陳省身為所長，認為他“誌趣純潔，幹練有為，與全院新舊同人相處融洽”；“學業成就尤為超卓”，可提供數學所初創所特別需要的“創造之精神”和“推動之力量”。沒有辦法，陳省身隻得繼續代理。考慮到當時中國的現狀，陳省身決定把數學所辦成“研究生院”，以培養新人為第一要務。他致函各著名大學數學係，請他們推薦三年內畢業的最優秀學生，擔任“助理研究員”。應征者十分踴躍。他親自講課，不是講大範圍微分幾何，而是講純粹數學中起關鍵作用的“代數拓撲”，每周12節。當時的助理研究員吳文俊對自己在中研院數學所一年的經曆印象深刻：“凡事必須從根本做起。大範圍微分幾何的真正發展一直要等到代數拓撲和李群為它鋪平道路。因此，盡管陳師的主要目標是大範圍微分幾何，但在中研院數學所三年期間，對年輕人沒有講授微分幾何，而致力於代數拓撲方麵的培養。”要進入近代數學之門，陳省身還要他們讀好三本書：龐特裏亞金的連續群論，C.謝瓦萊的李群論和H.外爾的經典群論。時隔半個多世紀，看到代數拓撲和群論在微分幾何和其他數學學科中的巨大作用，人們不禁由衷欽佩他目光的遠大和決策的明智。陳省身後來回憶說：“三年的工作並未浪費。當時的青年研究人員都能堅守數學崗位，有的並有傑出的成就。”這些人中最優秀的當推吳文俊（1919-？）。