S.S.Chern
（1911-2004）
是E.嘉當和陳省身這兩位幾何學家的思想和工作給這個時期微分幾何學的進程打下了深刻的銘記。
——P.唐布羅斯基
如果沒有嘉當、霍普夫、陳省身和另外幾個人的幾何直覺，本世紀的數學絕不可能有如此驚人的進展。我深信，隻要數學繼續發展，就永遠需要這樣的數學家。
——A.韋伊
數學好玩
這裏既沒有坎坷不平、跌宕起伏的經曆，也沒有傳奇故事。陳省身一生一帆風順，遂心如意。有人說，這是他的命好。學者何炳棣和台灣命理學家柯俊良都給陳省身算過命，說他是“難得的好命”。是否有道理，我們在此不妄加評論。他的“命好”，別人是學不來的。但是，他的處世、為人、治學卻可以大書特書，給後人以啟迪，為後人所借鑒。
陳省身1911年10月28日生於浙江嘉興。地處富饒的杭嘉湖平原的嘉興，鄰近上海，氣候溫潤、景色宜人，是有名的魚米之鄉。這一帶素有崇文尚學的民風，誕生過像王國維、茅盾、徐誌摩、金庸等一大批文化名人。中國近代科學的先驅，數學家、天文學家、翻譯家和教育家李善蘭（1811-1882）100年前就出生在與嘉興毗鄰的海寧。李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯美國羅密斯所著《代微積拾級》是中國出版的第一部微積分譯作，其首創的許多名詞如數學、代數、根、方程式、函數、曲線、曲率、無窮、級數、微分、積分等等，準確貼切，獨具匠心，一直沿用至今。父親陳寶楨是一位開明的知識分子，15歲（1904年）中秀才。辛亥革命時，隻身來到杭州，報考浙江法政學校，畢業後在司法界工作。家眷仍在嘉興，父子很少見麵。母親韓梅，哺育子女，操持家務，勤勞一生。陳省身上有姐姐，下有弟妹，是長孫，祖母對他寵愛有加。祖母和未出嫁的姑姑一起，親自教他讀書識字。祖孫倆感情特別好。老祖母每天念經、拜佛，陳省身也跟著學，小小年紀居然能背出全部阿彌陀經。
有一次父親回家過年，帶來一部美國傳教士狄考文和中國鄒立文合編的西方數學教科書《筆算數學》，共上、中、下三冊。聽了父親的簡單解釋，陳省身好奇地翻閱起來，看著看著就入了迷。很快三冊書基本上看懂了，還做了其中大部分題目。對數學的興趣默默地在這位少年的心田裏埋下了。
1922年，父親到天津法院任職。冬天，全家移居天津。第二年春天，陳省身考入天津扶輪中學插班讀初一第二學期。那年他剛11周歲，班上年齡最小。扶輪中學為交通部所屬，經費充裕，管理嚴格，教學質量上乘。學習他毫不感到吃力，不過他不是第一名。對名次他不感興趣。他按照自己的興趣愛好行事。數學他覺得好玩，很有意思，他願意花時間去鑽研，做了大量的習題。在1926年校刊《扶輪》第8期上就刊載有他《一幾何定理之十六個證法》的文章。對文學，他同樣有興趣。課餘他看了許多“雜書”。《扶輪》上也有他的兩篇詩作，抒發少年時代的情懷：不做“紙鳶兒”，立誌做一個不受“牽扯”的有“自動能力”的人。
數學史家錢寶琮是父親嘉興時的同學，官費留學英國，學土木工程。後研究數學史，並從事數學教育工作。當時他恰在南開大學短期任教，所以常來陳家串門。他看到陳省身腦子靈活，數學底子很好，建議他以同等學力資格，報考南開大學。沒費什麼周折，事情就定了下來。誰會想到，錢寶琮這一不經意的建議，對中國的數學乃至世界的幾何學，會產生如此重大的影響！
1926年，陳省身從扶輪中學畢業，這年剛好15歲。要考南開大學，困難不少。扶輪中學是四年製，而南開大學的入學考試按六年製中學的要求命題，許多內容，像解析幾何等，需要很快補上。不過這難不倒陳省身。經過三星期刻苦努力，成功考取南開。錢寶琮告訴他，他的數學成績是全體考生中第二名。
千裏之行，始於足下
南開大學是私立大學，學費比公立的貴。剛入學隻分科（後改名學院），到三年級才選係。陳省身學的是理科，內設數學、物理、化學和生物四個係。那一年理科的新生一共26名，其中有他後來的好朋友吳大任（1908-1997）。一年級的課程有初等微積分、普通物理、化學分析、國文和英文五門課。初等微積分和普通物理的力學部分由錢寶琮執教，陳省身學起來輕鬆愉快，毫不費力。第二年薑立夫從廈門大學講學回來，親授高等微積分。接著又開設複變函數、線性代數和非歐幾何等課程。20世紀20年代的中國，現代數學尚處於啟蒙時期，這些課程在當時中國無疑處於最高水平。大學能開出微積分課程已屬不易，他一人居然能撐起一片天。南開“一人係”的美名，一時傳為佳話。
薑立夫1890年生於浙江平陽。1911年公費留學美國，1915年獲加州大學學士學位。1919年獲哈佛大學博士學位，是中國第二位數學博士。當年10月，因兄長去世，急忙趕回中國。借此機會，南開大學聘其為數學係教授。薑立夫專長幾何，治學嚴謹，被認為是20世紀上半葉中國數學界的領袖人物。他講課條理清晰，方法靈活，把嚴格的邏輯推理與生動的幾何形象相結合，舉重若輕，深受學生的歡迎與愛戴。除了教學任務，他還要處理書刊訂閱和行政事務，工作十分繁重。薑立夫坦言：“一人包一個係，我感到吃力。”但“我用全力對付他們，希望他們成材之後，幫我把更多的現代數學搬回來。”多麼樸素的語言！這位被胡適譽為“現代聖人”的中國現代數學先驅，在南開先後培養了江澤涵、吳大任等一大批優秀數學家，而其中最傑出的無疑是陳省身。
本來陳省身打算進物理係，因為物理“似乎較切實些”。後來發現事情並不那麼簡單。物理現象比較複雜，特別是還要做實驗，可是自己的動手能力不強。另外，去物理係還要參考化學成績，這又牽涉到化學實驗和動手能力。他有兩條原則：做自己喜歡的；從事自己擅長的，不去趕時髦。所以物理係不選啦。
到二年級，聽了薑立夫的課，激發起他對數學、尤其是幾何的巨大興趣。於是事情變得很簡單：選擇數學。用陳省身自己的話說，這一選擇使他“一生受益不淺”。
南開的生活愉快而充實。1930年陳省身作為最優等畢業生從南開大學畢業。天津8年的生活給他留下最美好的回憶。下一步的選擇又擺在麵前。說來也湊巧，那一年清華大學建立我國第一個研究生院，算學係招碩士研究生，導師是芝加哥大學博士、幾何學家孫光遠。既然有機會進一步深造，陳省身當然不願錯過。他與吳大任被清華雙雙錄取。不料，吳大任因家庭突生變故，不能入學，研究生隻剩陳省身一人，學校決定暫停一年，他隻好在清華當了一年熊慶來教授的助教。桌子就放在熊的辦公室裏。第二年正式成為孫光遠的研究生，剛好華羅庚被清華聘為助理員，就用上了陳省身的桌子。
剛開始，陳省身還是受到孫光遠的指導。可是不久孫光遠因與清華領導有矛盾，便撒手不管了。陳省身隻好一邊聽其他教授的課，一邊自己找題目研究。這期間他寫了三篇論文，兩篇發表在日本《東北數學》上，其中一篇就是他的碩士論文。
值得一提的是，從1932-1934年先後有G.伯克霍夫、W.布拉施克、E.施佩納和W.F.奧斯古德等多位外國數學家來清華、北大講學。其中對陳省身影響最大的當屬漢堡大學教授、德國幾何學權威布拉施克。用陳省身自己的話說：“布拉施克教授對我的影響之大，怎麼說也不過分。”其實，陳省身對布拉施克並不陌生。在跟隨薑立夫學習曲線論和曲麵論時就以布拉施克的著作為教材，還看過他在《漢堡大學數學討論會論文集》上的論文，對他的才學極為欽慕。這次能親身聆聽他的講課，自然十分興奮。這位德國幾何學家酷愛旅遊，北京講學是他全球旅行的一部分。他在北大一共演講6次，題目是《微分幾何的拓撲問題》。布拉施克講課清晰生動，待人平易近人。當時的北大還在城裏，從清華到那裏騎車要一個多小時。4月的北京，春寒料峭，陳省身每次聽課總是天不亮就起床，早早出發，以便坐在前排，生怕漏掉一個細節，真可以用“如饑似渴”來形容。第二年，布拉施克又介紹一位年輕的漢堡大學數學講師施佩納來北大任教。他的幾何基礎和拓撲學課程深受北大和清華師生的歡迎。陳省身聽了他一學期的拓撲課，得益匪淺。他說：“這是第一次把我引進現代數學，打開了我的視野。”
這時陳省身已意識到自己原來研究的射影微分幾何，隻是數學的一個旁支，遠離數學發展的主流。他隱隱約約感到大範圍微分幾何，即研究微分流形的整體幾何性質將是未來發展的大方向。他好像看到遠方有一座雲霧繚繞的美麗高山，它姣好的麵貌還沒有顯露，上山的路徑也不知在何方。他有一種莫名的衝動，要用自己畢生的精力去攀登這座高山。他想到了布拉施克。陳省身覺得，讓他當自己的引路人應該是不錯的選擇。
1934年，陳省身以11門主課中10門優等、畢業論文優等的優異成績獲清華大學理學碩士學位。根據清華規定，研究生成績好的可以直接保送赴美國留學。由於陳省身希望到漢堡大學做布拉施克的研究生，算學係代理主任楊武之對此充分理解，在他的大力支持下，陳省身的願望順利實現。對於楊武之在關鍵時刻的幫助，陳省身銘記於心。
陳省身朝著大山的方向邁出了堅實的步伐。
踏破鐵鞋覓真經
7月底的上海，烈日下，黃浦江上大小船隻，來往穿梭。伴隨陣陣海風，不時傳來低沉的汽笛聲，一片繁忙景象。陳省身告別送行的親人，登上駛往歐洲的意大利輪，心中既興奮又有些忐忑不安。到人地生疏的異國他鄉，他要迎接即將到來的各種挑戰。
輪船經香港，過蘇伊士運河進地中海，到達意大利的裏雅斯特，上岸改乘火車，直抵柏林。等到陳省身千裏迢迢來到漢堡大學，已是陽光明媚的9月初了。
剛到漢堡，人生地不熟，困難可想而知。好在出國前他做了充分的思想準備，所以事情辦得有條不紊。學校11月才正式開學。他抓緊時間，突擊補習了一個月的德語。布拉施克10月初回到漢堡，他熱情歡迎陳省身的到來，並給了他一大疊關於網幾何的論文。陳省身拿了論文，不敢怠慢，立刻仔細鑽研起來。他發現其中一個基本定理的證明有漏洞。布拉施克一聽很高興，問他能不能把它補齊。陳省身知道這是教授在考驗自己。在開學前，他漂亮地把定理推廣，補上了漏洞，並寫出論文《關於網的計算》，第二年發表在《漢堡大學數學討論會論文集》上。這一次亮相，贏得了教授的信任。
1933年希特勒頒布“公務員法”，猶太血統的人不得當教授。格丁根、柏林等老牌大學受到巨大衝擊。幸虧漢堡當時相對平靜，成為數學家們“最後的樂土”。陳省身的導師布拉施克仍然在世界各地旅行，進修主要由他的助手、講師凱勒負責。凱勒是萊比錫大學博士，那一年，他與布拉施克還一起到莫斯科訪問，與正在那裏講學的嘉當進行了交流。陳省身到漢堡時，數學係正在祝賀凱勒的成名作《微分方程組理論導引》出版。該書利用嘉當創造的外微分形式的方法來研究微分方程組解的結構，建立了著名的嘉當-凱勒存在定理，還發現了一種稱為“凱勒流形”的幾何結構，是現代微分幾何的重要研究對象。凱勒為他的書開設了一個討論班。第一天，布拉施克和數學係的同事們都出席了討論班，每人還得到一本凱勒贈送的著作。由於理論十分複雜，而凱勒又不大善於講課，聽課的人越來越少，兩個月後幾乎隻剩陳省身一人。這與當年外爾斯特拉斯一個人在蒙斯特學院聽古德爾曼講橢圓函數的情形頗有些相似。盡管別的人先後離去，陳省身卻聽得津津有味，課後還要經常和凱勒到附近小飯館邊吃邊繼續討論。兩學期的討論班使陳省身收獲巨大。他看到了嘉當的偉大和他所創造的方法的威力。他利用學到的方法，於1935年秋寫出了他的博士論文《2r維空間中r維流形的三重網的不變理論》。這距離他到漢堡剛好一年。
除了討論班，陳省身還聽了赫克（1887-1947）的“代數數論”，阿廷（1898-1962）的“相對論”、“拓撲學”、“函數論”和“丟番圖逼近”等課程。對阿廷，陳省身推崇備至：“他是近代抽象代數的開創者之一，但他的興趣及於整個數學。他的演講與論文，都是組織嚴密、曲折不窮。難懂的理論，經他整理，都變成自然。他20多歲成正教授，為人隨和，看起來像學生。”
1935年11月，陳省身進修了兩個學期，聽了好幾門課，在德國和日本的數學雜誌上發表了三篇高質量的論文。正在羅馬尼亞布加勒斯特訪問的布拉施克給理學院院長克拉特寫信：“我的博士研究生陳省身已在漢堡學習了兩個學期，鑒於他的傑出工作，我請求破格給予博士資格考試。”1936年2月，陳省身以優秀成績獲博士學位。
由於提前獲得博士學位，中華教育文化基金會同意陳省身可繼續博士後研究，為期一年，地點任選。布拉施克給陳省身提了兩個方案：一是跟阿廷攻數論；一是追隨嘉當研究幾何。出於對幾何的熱愛和對嘉當的仰慕，陳省身選擇了後者。嘉當1869年4月9日出生於阿爾卑斯山的一個小山村多洛米約，少年即表現出非凡天賦。由於家境貧寒，靠國家獎學金完成初等教育。1888年進入巴黎高等師範學校學習。1894年完成學位論文《論有限連續變換群的結構》取得博士學位。1912年任巴黎大學理學院教授。嘉當的工作主要有三個方麵：李群和李代數理論、微分方程論和微分幾何學，特別是1920年後，在相對論發展的影響下，對微分幾何進行了一係列最值得稱道的工作。“他形成和發展了微分流形的分析，對現代數學的發展有決定性影響。他在可微係統理論中使用的方法，也許是最大貢獻。由於創造和應用了外微分形式演算的工具，使得微分幾何得以複興。他首先給出的纖維叢一般概念、聯絡定義，現已獲普遍認同。”嘉當的幾何理念超前而論證技巧又極為艱深、複雜，因此真正讀懂他論文的人寥寥無幾。他在1931年62歲時才入選法國科學院院士；1947年選為英國皇家學會會員。
9月的海濱城市漢堡，冷風嗖嗖，雖有淡淡的陽光，已有幾分涼意。陳省身在西裝的外麵穿上了大衣。拿到了博士學位，基金會的資助也已落實。這次以“法國巴黎索邦中國基金會博士後研究員”的身份前往巴黎大學從事研究工作，即將見到自己崇敬的嘉當教授，心中自然十分高興，出國時的忐忑不安早已煙消雲散。布拉施克親自到車站送行，依依惜別。火車到漢堡港改乘輪船，以便順道訪問劍橋，與正在那裏進修的華羅庚小聚，然後到達巴黎。
嘉當是一位慈祥的老者。瘦削的身子，頭戴一頂舊禮帽，配一副金絲邊眼鏡。態度和藹可親，待人真誠有禮。他每星期四下午接見學生。學生很多，在辦公室門口排起長龍。第一次見麵，沒有過多寒暄，嘉當給了陳省身一個關於網幾何的“小題目”讓他考慮。回來後陳省身苦苦思索找不到答案。一天在龐加萊數學研究所的樓梯口兩人相遇。嘉當問陳省身為什麼這些日子不去找他。陳省身據實相告。年輕人的坦誠使老人很滿意。他意識到自己的“小題目”的確有點大。（這個問題陳省身在回國後解決了，論文刊登在1938年雲南大學學報上，題目是《關於兩個仿射聯絡》。）談話的時候嘉當又給了陳省身一個“小題目”。這次陳省身沒有讓嘉當失望，圓滿給出了解答。老人再給他一個題目。這樣一來二往，年輕人的勤奮和才華贏得了老人的讚賞。老人的住所與國際學生宿舍在同一條街上。兩個月後，嘉當破例允許陳省身每兩星期到家麵談一次，時間約一小時。這樣陳省身幸運地成了大師的“嫡傳弟子”。這些日子，陳省身每天要為談話做精心準備，工作異常緊張，而他最盼望的就是與嘉當見麵的日子。每次到他家，老人親自開門。沒有客套。隔著桌子坐下後，直奔主題。先由陳省身交上書麵的“作業”，嘉當給予點評。麵談主要是筆談，必要時還加上簡單的口語或手勢，因為陳省身的法語隻有這樣的水平。一個小時很快過去。陳省身隻得依依惜別。第二天往往還會收到嘉當的來信，繼續上一天的討論。有時在街上相遇，兩人就在街上交流看法。老人思維敏捷、材料熟悉。有時他會拿出一隻舊信封或一張小紙把思考結果寫下來。嘉當的理論博大精深、曲折無窮。陳省身經過10個月悉心研究和老師的親自點撥，終於學到了讓他終身受用不盡的“秘門絕技”——嘉當的數學語言和思考方式，為以後的發展打下良好的基礎。