萬紫千紅才是春
時隔17年，華羅庚豪情滿懷，再一次登上清華大學的講壇。這一次他教授他的研究心得《典型群》。他要實踐他的誓言，培養青年人才，改變中國數學的落後麵貌，為祖國的建設服務。他的講課條理分明、深入淺出、引人入勝，深受學生的歡迎。
1953年，中國科學院數學研究所成立，華羅庚出任所長。同年，因“向蘇聯學習”，各高等院校搞院係調整。清華大學數學係劃歸北京大學。從此，華羅庚的工作重心就轉到了數學所。數學所下設兩個組：數論組和微分方程組。數論組組長由華羅庚兼任。這時候，華羅庚考慮的已不僅僅是他個人的研究成果；他更關心的是如何培養人才。他清醒地意識到，一個人的影響畢竟有限。如果能組織起一支既有深厚理論基礎又有獨立研究能力的浩浩蕩蕩的數學大軍，那麼，中國數學的麵貌何愁不日新月異？
1953年冬天，數論組在華羅庚主持下開設了兩個討論班：“數論導引”和“哥德巴赫猜想”。
關於“數論導引”，華羅庚早在西南聯大教授數論時就曾計劃寫一本書。無奈當時條件惡劣，根本不可能出版，因此沒有完全寫出來。後來在美國執教時他又補充和改寫了一些。考慮到新中國成立初期，這類參考書奇缺，華羅庚就萌發寫一本全麵介紹數論的參考書。《數論導引》的頭6章由華羅庚寫好後以很快速度講了一遍。後14章，難度加大，講的速度大為放慢。為保持全書的統一和連貫，從此，由華羅庚先寫出百分之六七十，其餘部分，指定一人負責補充，最後由越民義審核、修改、補充後交華羅庚定稿。由於參加者齊心協力，全身心的投入，洋洋66萬多字的《數論導引》僅用了兩年多一點的時間就出色地完成了。1959年正式出版，受到國內外的一致好評。
通過討論班，參加者對數論有了全麵的了解，還掌握了一些數論研究的基本方法。他們的能力得到鍛煉，水平有了提高，而且還寫出了書，使沒有參加討論班的也能受益。
華羅庚把“哥德巴赫猜想”選為討論班的主題是有深意的。哥德巴赫猜想優美無比，它的解決與解析數論的所有重要方法都有聯係。通過哥德巴赫猜想可以學會解析數論的所有重要方法。在這個基礎上，再學一點代數數論，就可以把解析數論的結果推廣到代數數域。這一方向就是解析代數數論。
哥德巴赫猜想討論班計劃分4個單元。到1957年，已完成1、2、4單元，因為“反右鬥爭”，討論班的研究被迫中斷。
為了培養青年一代，除了數論討論班，華羅庚還仿照“數論導引”模式，組織了“典型群”和“多複變函數論”兩個討論班。
討論班培養了一批人才，也出了專著。華羅庚與他的學生萬哲先合著的《典型群》在1963年出版。萬哲先成為華羅庚在代數方麵的繼承人，對發展中國代數學及其應用作出了突出貢獻。華羅庚的《多複變函數論中的典型域的調和分析》以中國科學院數學研究所甲種專刊第4號於1957年出版。他在多複變函數論與分析學方麵的繼承人是陸啟鏗和龔升，他們為中國分析學的發展作出了重要貢獻。
應《德國數學百科全書》編委會之邀，1954年華羅庚開始撰寫《指數和的估計及其在數論中的應用》。寫的方法與《數論導引》相同，每一章由他用英文寫出百分之六七十，餘下部分分別由越民義和王元補充，寫出初稿，最後由華羅庚定稿。1959年德文版正式出版；接著中文版和俄文版相繼出版。十分難得的是維諾格拉多夫親自為該書寫了一篇附錄。該書出版後受到廣泛好評，並成為同行征引的重要文獻。
播撒種子
華羅庚清醒地意識到，要使中國數學達到世界先進水平，像我國目前的情況，隻有個別或少數幾位突出的具有國際聲譽的數學家，是遠遠不夠的。隻有當中國的數學朝著“質高、量多、方麵寬”的方向健康蓬勃地發展起來，才能算達到世界先進水平。因此不能僅僅靠辦幾個討論班、寫幾本專著來培養人才，還要把熱愛數學的種子，播撒在全國青少年的心田，也就是“要從娃娃抓起”。他沒有忘記訪問蘇聯時，親眼看到大數學家為中學教師和參賽選手作通俗演講的動人情景，這些演講最後還撰寫成普及讀物在全國發行。
1956年，華羅庚仿照蘇聯的模式，提出在全國舉辦中學生數學競賽活動。這一倡議得到數學界的積極響應。許多著名數學家和青年數學家一道，熱情地參與這項活動。經過緊張籌備，這一年在北京、上海、天津和武漢四大城市舉行了競賽活動。
在北京，競賽前由華羅庚親自向參賽選手和他們的老師做題為《從楊輝三角談起》的報告。他既傳授知識又講究思考方法還進行愛國主義教育，深入淺出、引人入勝，大受師生們的歡迎。競賽優勝的選手將免試送入誌願的大學數學係繼續深造。演講的內容寫成小冊子在全國發行。這一活動有力地促進全國中學數學素質的提高。第二年，數學競賽進一步擴大到南京等大城市。
但是，好景不長。一場全國範圍轟轟烈烈的反右鬥爭和隨之而來的大躍進中斷了方興未艾的數學競賽活動，直到1962年才恢複。那一年，華羅庚興致勃勃地親自講《從祖衝之的圓周率談起》，並寫成小冊子。可是過不了兩年，“文化大革命”開始。競賽被指責為“天才教育”、“培養修正主義苗子”，活動再一次被迫停了下來。好不容易等到“文化大革命”結束，數學競賽才得以恢複。
盡管數學競賽因當時多變的政治氣候命途多舛，但隻要有機會，華羅庚始終以極大熱情參與這一活動。除了上述兩本小冊子，他還先後寫了《從孫子的“神機妙算”談起》、《數學歸納法》和《談談與蜂房結構有關的數學問題》等。這些書都是根據他在數學競賽活動中的演講寫成的。關於《數學歸納法》還有一個小故事。20世紀50年代，匈牙利數學家圖蘭訪問中國，在一次演講中講了中國清代著名數學家李善蘭（1811-1882）的一個恒等式：
圖蘭用較高深的數學方法做了證明。華羅庚聽了以後，心中感到很不是滋味。難道中國先輩提出的恒等式中國人自己證明不了？他苦苦思索，終於在圖蘭回國前給了他一個漂亮而又初等的證明。華羅庚把李善蘭恒等式和他本人的證明寫進了小冊子《數學歸納法》之中。
1978年，年近古稀的華羅庚再次出任競賽委員會主任，親自主持命題、監考和閱卷工作，還為《全國中學數學競賽題解》寫了7000字的“前言”，認為活動的影響遍及全國，意義深遠。談到他本人的體會，他用“一言難盡”四個字來形容，可謂耐人尋味。這一次活動規模空前：北京、上海、天津、陝西、安徽、遼寧、四川和廣東8個省市都舉行了競賽。從1956年到1978年，數學競賽總共進行了6次，停止活動長達16年之久，這不能不說是極大的遺憾。數學競賽所遭遇的時斷時續、忽冷忽熱、跌宕起伏的狀況，從一個側麵反映了華羅庚和中國數學當時所處的外部環境。
哥德巴赫猜想
經過幾年的努力，中國數學的研究工作已初具規現出一批優秀人才和喜人的成果。為檢閱力量，爭取內趕上國際先進水平，1956年8月13日到19日，全國文報告會在北京大學舉行。8月的北京，晴空萬裏、麵。未名湖畔旗幟招展，一派喜氣洋洋。這是一個規的大會，一個檢閱力量的大會，更是一個向科學進軍大會。參加大會的約100人，近半數是年輕人。會議共文170多篇，其中年輕人的論文占了很大比重。他們大中國成立後大學畢業，由國內自己培養的數學家；而俊、廖山濤、秦元勳等當時也才30多歲。
華羅庚在會上作了兩個報告：“指數函數與解析和“典型域上的調和分析”。前一個報告是根據他《指數和估計及其在數論中的應用》後麵一張附表“重索引”來講的；實際上是一個解析數論的近況報告。在尾時，他幽默地指出：“無論任何人，隻要能把現有的微推進一步，他就是世界紀錄的保持者。”他的講話極勵了與會代表。
受邀參加大會的代表中，有一位青年名叫陳景潤。他1933年出生於福建省福州市，從小酷愛數學，終日刻苦鑽研，如醉如癡。1953年畢業於廈門大學數學係；畢業後被分配到北京四中教書。由於不善言辭，不適合教書工作，被學校辭退。廈門大學校長王亞南了解陳景潤性格內向，教書是不大合適，但是他對數學鑽研頗深，說不定在數學上能搞出些名堂。因此他想辦法把陳景潤調到廈門大學管理圖書館資料。