伽利略很想親自做一下這類實驗。他實驗的目的是稱一稱浸入水中的物體的重量。在實驗中，伽利略觀察到，把一個物體放到水中，它就排開跟其同樣體積的水；物體沒入水中，它的重量要比在空氣中的重量輕。奇怪的是，物體減輕的重量正好與其排開的水的重量相等。
在實驗中，伽利略發明了一個簡易測出金屬比重的方法。假如不能肯定某一件東西是什麼金屬製成的，就可以截取一小塊，先在空氣中稱出它的重量，爾後再放入水中稱它的重量，得出減輕的重量，也即為它排開了多少水的重量。這些知曉後，再折算到一磅重的體積，查表，就可以知道它是由什麼材料製成的。伽利略想根據這些，做出一種可以測量各種混合金屬的“比重秤”。他成功了！他發明的“比重秤”便於攜帶，便於運用，又很準確。
“比重秤”問世，驚動了很多人，他們對伽利略的“新玩意兒”很感興趣，將帶來的金屬請伽利略檢驗，看它們純不純。一時間，人們絡繹不絕，毛織店的生意變得有了許多生機。
生意興隆了，文森西奧的心情好轉了。可這時，伽利略卻又提出了令他父親為難的問題：“我要到外地去訪問一些名流和學者。”兒子的要求讓父親感到納悶，就問：“現在的生意很好，正需要你幫忙，為什麼要出走訪問呢？”
伽利略反問道：“爸爸，您難道讓我永遠呆在店鋪裏嗎？”
文森西奧不覺一愣，頓時語塞。
伽利略接著說：“我的老師裏奇曾鼓勵我，到外麵去，把自己的思想和實驗成果解釋給別人聽；要和一些科學家交換思想觀點，增長見識，同時也讓外界了解自己。如果我始終在毛織品經營店幫您賺幾個小錢，那麼您供我讀大學所花費的心血和財力不是全浪費了嗎？”
文森西奧覺得兒子的話有道理，也就不反對了，但僅給了伽利略很少的一點錢。
伽利略帶著他不久前寫的一篇論述比重秤的論文匆匆辭別家人，興高采烈地出發了。他確信外麵的世界一定很精彩。
他這是第一次出遠門。以前他總是在比薩到佛羅倫薩之間往返。他準備去訪問帕圖亞、波倫亞、錫耶納、甚至羅馬等地的一些大學和知名的科學家。一路上，伽利略時而步行，時而求搭方便車，心情很是愉快。在旅途中，他也領略到了美麗多姿的意大利風光和淳厚的風俗人情。
伽利略從一個城市到另一個城市。由於裏奇的推薦，伽利略在各地受到了科學家、數學家們的熱情接待，一些崇尚科學的貴族爵士也對伽利略表示了好感。人們已知道他發明的測脈計和比重秤，並對他的論文給予很高的評價。與這些學者、名士的接觸和交往，向伽利略展示了一個全新的世界。他談論著自己的發明和闡述自己的觀點，虛心地聽取別人的意見，經常徹夜討論一些有價值的學術問題。
伽利略的坦誠和極富天才的科學頭腦，使他結交了許多真正懂科學的朋友，其中有彼薩羅的蓋特保圖侯爵和錫耶納的勢力望族比哥羅米尼家族，他們很佩服伽利略的學識和才幹，後來向伽利略始終伸出了熱情相助的手。
在羅馬，伽利略去拜訪著名的數學家克萊維斯神父（是羅馬學院的教授），兩人一起研究數學難題，並傾心相談，很快成為至交，從中伽利略得到了許多有價值的東西。
幾個月的異地訪問，很快過去了，1587年10月，伽利略返回了佛羅倫薩。
父親看見伽利略的皮膚曬得油黑，身體也強健了許多，更令人高興的是伽利略的頭腦反應更加敏銳，言談舉止似乎更加成熟了。
看到兒子的變化，文森西奧感到欣慰。他很慚愧地想：兒子的選擇沒有錯，伽利略正用自己的行動來衝擊舊觀念，宣傳科學觀念，逐漸闖出一條新路，證明科學的正確性。
兒子的開拓精神，也鼓舞了父親，文森西奧又拿起筆來，重新開始已荒廢多年的音樂的研究。他對樂器的弦做了長度和張力方麵的實驗，發現了一個數學定律，否定了傳統音樂理論的基本假設。文森西奧也反對“權威”音樂理論，如他在《古代音樂和現代音韻對話》一書中指出：“在我看來，他們僅僅是依靠權威的力量來證明什麼，而不是引用任何論據來支持自己的證明，這簡直荒唐可笑，與此相反，我希望允許自由提問和作答，而不需要任何對權威的阿諛逢迎，那才是真正追求真理。”
父親的思想變化對伽利略的觸動和影響很大，父親對音樂改革的一些實驗，使伽利略深受啟發，變得越發勤奮了。
伽利略的才學尤其是數學才能漸漸得到佛羅倫薩的大多數上層人物的賞識。
1587年底，伽利略在實驗中發現了一種巧妙而實用的測量某些固體重心的方法。他認為，每個物體都有重量，但物體的重量中心並不一定在該物體的中間部分。物體上重下輕容易倒，說明物體重心高；物體下重上輕不易倒，說明物體重心低。據此實驗結果，伽利略寫了《論重心》的論文，頓時引起廣泛的反響，使他聲譽大增。
伽利略在這幾年間，曾在佛羅倫薩和錫耶納做過私人教師，講授數學。從中他感到教師對知識正確傳授的重要性，心裏萌發了想入大學教學的念頭。而這對於一個20餘歲的年輕人是很難的。進大學做教授必須要由斐迪南德大公批準。
裏奇得知伽利略的想法後，便積極活動，他將伽利略的這篇論文《論重心》送給斐迪南德大公看。大公很欣賞，稱伽利略“很有才華”，隻是還要等待一段時間，各大學暫無教授空額。
不料，一等就是兩年！裏奇因病去世，伽利略傷心極了。
蓋圖寶特侯爵聞訊後，竭盡全力地幫助伽利略，勸說大公。恰巧，比薩大學需要一位數學教授，大公同意伽利略去擔任這個職位。
伽利略終於實現了自己的夢想，並由此開始孕育了另一個夢。