李善蘭創立了二次平方根的冪級數展開式，各種三角函數，反三角函數和對數函數的冪級數展開式。這是李善蘭也是19 世紀我國數學界最重大的成就。
李善蘭從小就喜歡數學，而且勤於思考，常把身邊的事物和數學聯係起來。
有一天，李善蘭隨父親到海寧城裏一位大紳士家做客，看到牆上掛著一幅《百鳥歸巢》圖，畫家是當時很有名的花鳥畫高手，在他生花妙筆的點染上，使看畫的人仿佛聞到了花香、聽到了鳥的叫聲。
畫的右上角還有一首題畫詩，上麵寫道：“一隻過了又一隻，3、4、5、6、7、8隻。鳳凰何少雀何多，啄盡人間千萬石。”
李善蘭看到這幅畫後，心中也頓然一動。題目是《百鳥歸巢》，可全詩卻沒有百字，隻有這幾個數字，好像是題詩人的有意安排，但究竟有什麼深藏的機密呢？他看著這些數字想了又想，當時也沒想明白。
回到家中，他還在心裏琢磨，當他看到書架上的數學書箱時，他恍然大悟，原來這是一道數學題。他在紙上寫下了這樣幾個數：1、1、3、4、5、6、7、8，怎樣能使它們和百鳥聯係在一起呢？
就在他拿來書架上的數學書翻開的時候，在腦子裏突然湧現出了幾個算式：1×2=2；3×4=12；5×6=30；7×8=56；2+12+30+56=100。
這不正對應著《百鳥歸巢》的“百”嗎？而最後的兩句詩是諷刺官員欺壓百姓，就像鴉雀一樣，把老百姓成千上萬的糧食侵占了。
這真是一幅絕妙的畫！看來，畫家也有很深的數學造詣。
李善蘭自幼就讀於私塾，受到了良好的家庭教育。他資稟穎異，勤奮好學，於所讀之詩書，過目即能成誦。有一次，他發現父親的書架上有一本我國古代數學名著《九章算術》，感到十分新奇有趣，從此迷上了數學。
14歲時，李善蘭又靠自學讀懂了歐幾裏得《幾何原本》前6卷，這是明末徐光啟與利瑪竇合譯的古希臘數學名著。歐氏幾何嚴密的邏輯體係，清晰的數學推理，與偏重實用解法和計算技巧的我國古代傳統數學思路迥異，自有它的特色和長處。
李善蘭在《九章算術》的基礎上，又吸取了《幾何原本》的新思想，這使他的數學造詣日趨精深。後來，又研讀了金元時期的數學家李冶的《測圓海鏡》，清代末期數學家戴煦的《勾股割圓記》等書，所學漸深。
1852年，李善蘭離家來到上海的墨海書館。
墨海書館是1843年為翻譯西方書籍由英國傳教士麥都思開設的，它也是西方傳教士與我國知識分子聯係的一條渠道。李善蘭在那裏結識了英國傳教士偉烈亞力和艾約瑟。
當時墨海書館正在物色能與傳教士協作翻譯的人才。
李善蘭的到來使他們十分高興，但又不甚放心，於是，他們拿出西方最艱深的算題來考李善蘭，結果都被李善蘭一一作了解答，得到傳教士們的讚賞。從此以後，李善蘭開始了譯著西方科學著作的生涯。
李善蘭翻譯的第一部著作是《幾何原本》後9卷，由於他不通外文，因此不得不依靠傳教士們的幫助。《幾何原本》的整個翻譯工作都是由偉烈亞力口述，由李善蘭筆錄的。
其實這並非容易，因為西方的數學思想與我國傳統的數學思想很不一致，表達方式也大相徑庭。雖說是筆錄，實際上卻是對偉烈亞力口述的再翻譯。就如偉烈亞力所說，正是由於李善蘭“精於數學”，才能對書中的意思表達得明白無誤。
這本書的翻譯前後曆經4年才告成功。
在譯《幾何原本》的同時，李善蘭又與艾約瑟一起譯出了《重學》20卷。這是我國近代科學史上第一部力學專著，在當時極有影響。
1859年，李善蘭又譯出兩部很有影響的數學著作《代數學》13卷和《代微積拾級》18卷。前者是我國第一部以代數命名的符號代數學，後者則是我國第一部解析幾何和微積分著作。
這兩部書的譯出，不僅向我國數學界介紹了西方符號代數、解析幾何和微積分的基本內容，而且在我國數學中創立起許多新概念、新名詞、新符號。
這些新東西雖然引自於西方原本，但以中文名詞的形式出現卻離不開李善蘭的創造，其中的代數學、係數、根、多項式、方程式、函數、微分、積分、級數、切線、法線、漸近線等，都沿用至今。
這些漢譯數學名詞可以做到顧名思義。李善蘭在解釋“函數”一詞時說，“凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數。”這裏，“函”是含有的意思，它與函數概念著重變量之間的關係的意思是十分相近的。許多譯名後來也為日本所采用，並沿用至今。
在《代微積拾級》中附有第一張英漢數學名詞對照表，其中收詞330個，有相當一部分名詞已為現代數學所接受，有些則略有改變，也有些已被淘汰。
除了譯名外，在算式和符號方麵李善蘭也做了許多創造和轉引工作。比如從西文書中引用了×、÷、＝等符號。
李善蘭除了與偉烈亞力合譯了《幾何原本》、《代數學》和《代微積拾級》外，還與艾約瑟合譯了《圓錐曲線論》3卷。這4部譯著雖說與當時歐洲數學已有很大差距，但作為高等數學在我國引入還是第一次，它標誌著近代數學已經在我國出現。
就具體數學內容來說，它們包括了虛數概念、多項式理論、方程論、解析幾何、圓錐曲線論、微分學、積分學、級數論等，所有的內容都是基本的和初步的，然而，它對我國數學來說卻是嶄新的。有了這個起點，我國數學也就可以逐步走向世界數學之林。
1858年，李善蘭又向墨海書館提議翻譯英國天文學家約翰·赫舍爾的《天文學綱要》和牛頓的《自然哲學數學原理》。此外又與英國人韋廉臣合譯了林耐的《植物學》8卷。
在1852年至1859年的七八年間，李善蘭譯成著作七八種，共約七八十萬字。其中不僅有他擅長的數學和天文學，還有他所生疏的力學和植物學。
在介紹西學方麵，這裏值得一提的是，在李善蘭之後，清代末期數學家﹑翻譯家和教育家華蘅芳做了積極的翻譯工作。
華蘅芳先與美國瑪高溫合譯了《金石識別》、《地學淺釋》、《防海新論》和《禦風要術》等礦物學、地學、氣象學方麵的書共5種；又與英國人傅蘭雅合譯了《代數術》、《微積溯源》、《決疑數學》、《三角數理》、《三角難題解法》、《算式解法》等6種，另有未刊行的譯著4種，進一步介紹西方的代數學、三角學、微積分學和概率論。
這些譯著都成為我國學者了解和學習西方數學的主要來源。其中的《決疑數學》具有突出地位，這是第一部在我國編譯的概率論專著。
李善蘭在數學研究方麵的成就，主要有尖錐術、垛積術和素數論三項。
尖錐術理論主要見於《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》3部著作，成書年代約為1845年，當時解析幾何與微積分學尚未傳入我國。李善蘭的著作將近代數學思想運用於解決我國傳統課題之中，取得了出色的成就。
李善蘭創立的“尖錐”概念，是一種處理代數問題的幾何模型，他對“尖錐曲線”的描述實質上相當於給出了直線、拋物線、立方拋物線等方程。
他創造的“尖錐求積術”，相當於冪函數的定積分公式和逐項積分法則。他用“分離元數法”獨立地得出了二項平方根的冪級數展開式結合“尖錐求積術”，得到了圓周率的無窮級數表達式。
垛積術理論主要見於《垛積比類》，這是有關高階等差級數的著作，是早期組合論的傑作。李善蘭從研究我國傳統的垛積問題入手，獲得了一些相當於現代組合數學中的成果，創立了馳名中外的“李善蘭恒等式”。
素數論主要見於《考數根法》，這是我國素數論方麵最早的著作。在判別一個自然數是否為素數時，李善蘭證明了著名的費馬素數定理，並指出了它的逆定理不真。
李善蘭是繼梅文鼎之後清代數學史上的又一傑出代表。李善蘭一生翻譯西方科技書籍甚多，將近代科學最主要的幾門知識從天文學到植物細胞學的最新成果介紹傳入我國，對促進近代科學的發展作出了卓越貢獻。
[旁注]
海寧 位於長江三角洲南翼、浙江省北部。海寧是良渚文化發源地之一。據考古資料證明，距今六七千年前，在海寧土地上已有先民生息。223年，析海鹽、由拳鹽官縣，屬吳郡，隸揚州，為海寧建縣之始。1773年升為州。
戴煦 (1806年～1860年）。清代晚期數學家。戴煦在青年時期就寫成了《重差圖說》一書，文字深入淺出，內容通俗易懂。戴煦在研究國外傳入的新運算法對數時，發明了“圖表法”。這一方法不僅運算的數據正確，而且也要比一般的算法更為簡便易行。
華蘅芳 (1833年～1902年)。清代末期數學家、翻譯家和教育家。華蘅芳曾3次被奏保舉，受到洋務派器重，一生與洋務運動關係密切。他官至四品，但非從政。他不慕榮利，窮約終身，堅持了科學、教育的道路，與李善蘭、徐壽齊名，同為我國近代科學事業的先行者。
組合論 對象是具有組合性質的集合，以其個數的計算為主要目標。要對組合性質給予明確的定義是困難的。簡單的代數係，例如序集、格、半群等的最原始的個數計算都可以看做組合論的內容。此外，概率論、分子結構、工程學等方麵產生的組合問題也歸入了組合論。
逆定理 將某一定理的條件和結論互換所得的定理。如:“在一個三角形中，如果兩條邊相等，它們所對應的角也相等。它的逆定理是：“在一個三角形中,如果兩個角相等，則它所對應的邊也相等。”另外，生活中有些事情跟意願、常理相違，也可稱為“逆定理”。
[閱讀鏈接]
李善蘭在故裏時，曾與蔣仁榮、崔德華等親朋好友組織“鴛湖吟社”，常遊“東山別墅”，分韻唱和，當時曾利用相似勾股形對應邊成比例的原理測算過東山的高度。他的經學老師陳奐在《師友淵源記》中說他“孰習九數之術，常立表線，用長短式依節候以測日景，便易稽考”。
明清之際詩人餘楙在《白嶽庵詩話》中說他“夜嚐露坐山頂，以測象緯躊次”。至今李善蘭的家鄉還流傳著他在新婚之夜探頭於閣樓窗外觀測星宿的故事。