尖錐術理論主要見於《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》3部著作，成書年代約為1845年，當時解析幾何與微積分學尚未傳入我國。李善蘭的著作將近代數學思想運用於解決我國傳統課題之中，取得了出色的成就。
李善蘭創立的“尖錐”概念，是一種處理代數問題的幾何模型，他對“尖錐曲線”的描述實質上相當於給出了直線、拋物線、立方拋物線等方程。
他創造的“尖錐求積術”，相當於冪函數的定積分公式和逐項積分法則。他用“分離元數法”獨立地得出了二項平方根的冪級數展開式結合“尖錐求積術”，得到了圓周率的無窮級數表達式。
垛積術理論主要見於《垛積比類》，這是有關高階等差級數的著作，是早期組合論的傑作。李善蘭從研究我國傳統的垛積問題入手，獲得了一些相當於現代組合數學中的成果，創立了馳名中外的“李善蘭恒等式”。
素數論主要見於《考數根法》，這是我國素數論方麵最早的著作。在判別一個自然數是否為素數時，李善蘭證明了著名的費馬素數定理，並指出了它的逆定理不真。
李善蘭是繼梅文鼎之後清代數學史上的又一傑出代表。李善蘭一生翻譯西方科技書籍甚多，將近代科學最主要的幾門知識從天文學到植物細胞學的最新成果介紹傳入我國，對促進近代科學的發展作出了卓越貢獻。
[旁注]
海寧 位於長江三角洲南翼、浙江省北部。海寧是良渚文化發源地之一。據考古資料證明，距今六七千年前，在海寧土地上已有先民生息。223年，析海鹽、由拳鹽官縣，屬吳郡，隸揚州，為海寧建縣之始。1773年升為州。
戴煦 (1806年～1860年）。清代晚期數學家。戴煦在青年時期就寫成了《重差圖說》一書，文字深入淺出，內容通俗易懂。戴煦在研究國外傳入的新運算法對數時，發明了“圖表法”。這一方法不僅運算的數據正確，而且也要比一般的算法更為簡便易行。
華蘅芳 (1833年～1902年)。清代末期數學家、翻譯家和教育家。華蘅芳曾3次被奏保舉，受到洋務派器重，一生與洋務運動關係密切。他官至四品，但非從政。他不慕榮利，窮約終身，堅持了科學、教育的道路，與李善蘭、徐壽齊名，同為我國近代科學事業的先行者。
組合論 對象是具有組合性質的集合，以其個數的計算為主要目標。要對組合性質給予明確的定義是困難的。簡單的代數係，例如序集、格、半群等的最原始的個數計算都可以看做組合論的內容。此外，概率論、分子結構、工程學等方麵產生的組合問題也歸入了組合論。
逆定理 將某一定理的條件和結論互換所得的定理。如:“在一個三角形中，如果兩條邊相等，它們所對應的角也相等。它的逆定理是：“在一個三角形中,如果兩個角相等，則它所對應的邊也相等。”另外，生活中有些事情跟意願、常理相違，也可稱為“逆定理”。
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李善蘭在故裏時，曾與蔣仁榮、崔德華等親朋好友組織“鴛湖吟社”，常遊“東山別墅”，分韻唱和，當時曾利用相似勾股形對應邊成比例的原理測算過東山的高度。他的經學老師陳奐在《師友淵源記》中說他“孰習九數之術，常立表線，用長短式依節候以測日景，便易稽考”。
明清之際詩人餘楙在《白嶽庵詩話》中說他“夜嚐露坐山頂，以測象緯躊次”。至今李善蘭的家鄉還流傳著他在新婚之夜探頭於閣樓窗外觀測星宿的故事。
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