新課程下數學解題中的另類做法
數學教學與研究
作者：周忠堂 董永明
文學上有“天高任鳥飛，海闊憑魚躍”的對仗句，數學上也有在直角坐標平麵內“點有坐標，線有方程”的對偶語，還有“和與積”，“或與且”，“奇與偶”，“sinα與cosα”，“直線與平麵”的對偶詞.數學中的對偶是指在一個命題的結構中，將其一個（或幾個）元素換成對偶的一個（或幾個）元素而獲得一個新的命題.若變換前後的兩個命題都是真命題，則稱這兩個命題互為對偶命題，數學解題中構造對偶，享受數學美.
1.構造“直線”與“平麵”對偶，再造“新像”
新課程人教版高中數學必修2中，在研究直線與直線，直線與平麵及平麵與平麵的位置關係時，發現將一些命題中直線、平麵對換後，真命題仍是真命題，假命題仍是假命題，這正是直線、平麵一種和諧的對偶。
案例1.1）空間直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c是真命題。對偶空間平麵α，β，γ，若α∥β，β∥γ，則α∥γ是真命題。
2）空間垂直於同一直線的兩直線互相平行是假命題。
對偶：空間垂直於同一平麵的兩平麵互相平行是假命題。
3）空間垂直於同一平麵的兩直線互相平行是真命題。
對偶：空間垂直於同一直線的兩平麵互相平行是真命題。
4）設x，y，z表示空間不同的直線或平麵，且直線不在平麵內；則下列選項中能夠使命題：“若x⊥z，y⊥z，則x∥y”成立的序號是？搖？搖？搖？搖？搖.
①x，y，z表示空間不同的直線。②x，y，z表示空間不同的平麵。③x，y表示空間不同的直線，z表示平麵。④x，y表示空間不同的平麵，z表示直線。⑤x，z表示空間不同的直線，y表示平麵。⑥x，z表示空間不同的平麵，y表示直線。
選擇方法是由實物作模板，對偶作想象，可迅速作判斷；選③④⑤⑥.
2.構造正餘弦對偶，出奇製勝
4.構造“任一”與“某一”對偶，其樂無窮
新課程人教版高中數學選修2-1特稱與全稱命題中“某一”與“任一”；“某一”是專門指“某某”的單稱，如“某一方程”，就專門指那一個方程，那一個方程是未知還是已知，它都是一個確定的方程。而“任一”指“任意一個”是泛指的單稱，它雖然指一個，但實質上包括了“全體”、“所有”。“任一”所具有的性質，就是“全體”具有性質，反之，由於全體不能一一表示出來，因此可轉為“某一”解決。“任一”與“某一”並非文字遊戲，即不能用“某一”代替“任一”使問題失去一般性，但在否定“任一”都成立的問題時，而不能不用“某一”而使問題變得複雜，玩玩這樣的遊戲，真是其樂無窮。
數學中的對偶現象豐富多彩、多種多樣，解題時隻要認真觀察，仔細聯想，就可創造形狀各異的對偶，對培養思維的創造性極有好處。同時也看到對偶概念方法更是對稱概念方法的推廣及延伸，構造對偶就成為追求數學美的方式。
參考文獻：
[1]王仲春，李元中，等編.數學思維與數學方法論.高等數學教育出版社，1990.
[2]梅向明，劉增賢，編.高等幾何.高等教育出版社，1980.