滲透模型思想，建構數學模型
視點·動態
作者：周清
“雞兔同籠”問題是我國古代算書《孫子算經》中的名題，也是我國民間廣為流傳的數學趣題，如今人教版（六年級上冊第七單元“數學廣角”）和蘇教版都作為教學內容編入教材（蘇教版六年級上冊第七單元例2）。
一、小學高年級學生的思維發展從具體運算階段向形式運算階段過渡，能夠運用假設——演繹推理的方式解決“雞兔同籠”問題
1.根據該學段學生心理特點與已有知識經驗培養他們的數學推理素質。兒童心理學說：形式運算階段的兒童能在考察問題細節的基礎上，假設這種或那種理論或解釋是正確的，再從假設中演繹出從邏輯上講這樣或那樣的經驗現象實際上應該或不應該出現，然後檢驗他的理論，看這些預見的現象是否確實出現。蘇教版六年級數學上冊編排這節具有挑戰性內容，目的是培養學生分析、綜合和簡單的推理能力，感受“替換”策略的價值，形成數學思想，有助於培養學生對數學的積極情感體驗，是數學本身的魅力所在。
2.教師潛心鑽研教材，從教材的編寫意圖出發，深度挖掘教材內涵，突破教材的“局限性”，彌補教材的“缺憾”。教師的教學如果不能激發學生自主探索的欲望，便無助於學生思維的發展。教材給學生留有思維的空間，給教師再創造的餘地。蘇教版六年級數學上冊91頁在例題2呈現後，提出思考：你準備怎樣解決這個問題？這個問題的拋出，對學生很有難度。教材的呈現形式是靜態的，它不能完整地表達設計意圖，暴露出內容的複雜性與學生思維的局限性之間的矛盾，顯得問題有些突兀。教師教學中，要給學生設計合理的思維梯度，將問題分解，為了解決矛盾，擺脫書本給學生帶來思維的禁錮（數據大），故重設準備題：有若幹隻雞和兔子，它們共有8個頭，22隻腳，雞和兔各有多少隻？
二、具體運算階段的學生，從感性到理性是最重要的認知途徑，考慮到他們的認知差異，為他們提供首次感知需要的充分的感性材料
準備題的條件簡單，問題簡單，但是學生對這類題思維方式淩亂，“雞兔”換成“鶴龜”就會出現問題。為了促進學生理解題意，教師必須提供有關的感性材料（雞和兔的實物圖片），這些材料能給他們帶來無盡的直覺源泉，能力稍差的學生可以根據實物圖圈圈畫畫數數得出答案，思維能力稍好的學生借助列表得出答案。直觀感性的材料是學生解決問題時的思維起點，也是問題的直接呈現形式，易於激發學生的求知欲與興趣。
三、引導學生擯棄感性，概括歸納，達到認知上能接受的抽象程度——“替換”策略模型
直觀感性的材料有其局限性，它難以突出數學問題的本質，所以要適時脫離與擺脫它。感性材料隻是解決問題的輔助手段，是尋找答案的切口。學生沿著這個切口，通過對問題的深入探究，使信息達到“多向化”交彙。
荷蘭數學家弗賴登塔爾指出：數學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的。學生的思維發展的“拐杖”是教師支持性的語言，他們的列表（逐一列表、折中列表、跳躍列表）已經很成熟，需進一步優化，形成解決問題的策略：假設8隻都是兔，就會有32條腿，顯然比實際多了10條，每次替換一隻兔為一隻雞，就會少2條腿。結論是共需替換5次，把32條調整成22條。