黃金分割點
如果用一個點去分割一條線段，用什麼比例平分才能達到視覺上的最好效果呢？並不是將這個點畫在中間，也不是將這個點劃在任何一個等分的位置，而是這個點分的小段與大段的比，恰好是大段與全長的比，即0.618比例，才是真正符合人視覺完美的“黃金分割點”。著名的畫家達·芬奇曾經用這個比例畫人體，顯得非常美觀和協。人們關於黃金分割有很多的方法，有黃金分割圓和黃金分割矩形等，但是為什麼這個比例就達到視覺上的和協美？這一直是一個謎。“黃金分割法”由來之久，最早可以追溯到兩千多年前，古希臘的柏拉圖派學者歐多克斯，首先使用規尺分已知線段為“黃金分割”，他的做法如下：1.過B點，作BC上AB，而且使BC=12AB；2.連AC；3.以C為圓心，CB為半徑作圓弧，交AC於D；4.以A為圓心，AD為半徑作圓弧交線段AB於P，則P點分AB成黃金分割。這個做法十分簡便，證明也很容易。設AB=a，則BC=a2，由勾股定理可知：AC=AB2+BC2=a2+（a22）=52a；AC=AC-DC=52a-a2=5-12a；AP=AD=5-12a。
這就證明了，P點分AB成黃金分割。這個作圖方法，叫做“黃金分割法”，P點為黃金分割點。
達芬奇根據黃金分割比例繪出的人體在近代數學中，有一個幾何美學完美結合的例子，那便是“黃金分割”，之所以這麼叫，是因為這個比例分割的線段或者圖形，都是符合人的審美要求，而這一比例也被用在了藝術領域。那麼究竟什麼是“黃金分割”呢，讓我們好好來探索和研究一下。分割在幾何學中的定義。在已知線段AB上有一點P。如果P將AB分為大小兩段，使小段與大段之比恰好等於大段與全長之比，即BP∶AP=AP∶AB，那麼就叫P點分線段AB成“中外比”。著名畫家達·芬奇把人體許多部位之比畫成中外比，顯得特別和諧美觀，他稱中外比為“黃金分割”。在現代數學中，黃金分割點又可以用數值的說法是0.168比值，它的計算方法是這樣的：設線段全長AB=a，大段AP=x，則小段BP=a-x，於是，a-xx=Xa即X2+ax-a2=0，x=-a±5a2舍去負根，得x=5-12a因此，Xa=5-12這就是說，中外比的比值為5-12。中外比的比值，叫做“黃金數”，用記號g表示。請記住：g=5-12由於5=2.236……所以g=0.618。在數學上還有一種輾轉分割法：設點P1將線段AB分成黃金分割，即BP1=AP1=g；取AB中點O，作點P1關於點O的對稱點P2，則點P2有下述重要性質：1.點P2也將線段AB分成黃金分割。這是因為：AP2=BP1，BP2=AP1，AP2=BP2=BP1=AP1=g，所以點P2也分AB成黃金分割。由此可知，每條線段有兩個黃金分割點。2.點P2還分線段AP1成黃金分割。證明如下：由於BP1=AP1=g，而AP2=BP1，所以AP2=AP1=g，這就說明P2分AP1成黃金分割。3.作P2關於線段AP1中點的對稱點P3，則AP3將AP3黃金分割。如此繼續利用對稱，輾轉相割，可以得到一係列的黃金分割點。在國外，有位畫家舉辦過一次畫展，所有的畫麵都是不同比例的矩形，有的狹長，有的正方。據統計數字表明，觀眾最喜愛的是寬與長之比為g的短形畫麵。人們稱這種矩形為“黃金矩形”。黃金矩形有個奇特的性質，如果矩形ABCD是黃金矩形，即DA∶AB=g，在它的內部截去一個矩形。這個過程繼續下去，還可以得到一係列的黃金矩形。黃金分割就是如此奇妙，但是至今人們也還沒有徹底解開其中的奧秘。為什麼是0.618，而不是12或者13，才是最佳分割點呢？這恐怕要留給後人去解釋了。