理發師怎麼會引出“危機”？GEB是什麼？兩者之間又怎麼會有關係呢？
相傳在很早以前的一個村莊裏，隻有一個理發師，他規定隻替而且一定替不給自己理發的人理發。這就引出一個問題：他該不該給自己理發？或者問：他的頭發應由誰理？
要是他給自己理發，那麼他就違反了自己的規定，因為按規定，他不應該為自己理發；要是他不給自己理發，他也違反了自己的規定，因為按規定，他一定得給自己不理發的人理發，所以他也得給自己理發。理發師犯難了：他不論怎麼做都“自己打自己的耳光”。
在邏輯學中，如果承認某一命題是真的，但它又是假的；如果承認它是假的，但它又是真的。這樣的命題叫“悖論”或“佯謬”。上麵這個故事被稱為“理發師悖論”。
1901年6月，英國數學家、哲學家羅素（1872-1970）發現了後人以他的名字命名的“羅素悖論”，這是集合論中的一個悖論，所以又叫“集合悖論”。它的基本內容是：如果把所有集合分為甲、乙兩類，甲類可以把自身作為自己的元素，乙類不可以把自身作為自己的元素；
那麼，所有的乙類集合的集合是甲類還是乙類呢？如果說所有的乙類集合的集合屬於甲類，由於甲類可以把自身作為自己的元素，那麼乙類集合的集合應屬於乙類。如果說所有的乙類集合的集合屬於乙類，那麼它顯然可以納入所有的乙類集合的集合之中，這樣它又符合甲類要求而屬於甲類了。由此看來，所有的乙類集合的集合既是甲類又非甲類，既是乙類又非乙類，於是造成了不可克服的邏輯矛盾。1918年，羅素把這個較為高深的集合論中的悖論通俗地解釋為前述“理發師悖論”，所以許多文獻把這兩個悖論相提並論，其本質都是，使邏輯陷入一種無法擺脫的“怪圈”。
那麼，“理發師悖論”又怎麼會引發危機呢？它的確引出了“危機”——“第三次數學危機”。集合論中存在著不可克服的邏輯矛盾，從根本上危及整個數學體係的確定性和嚴格性，這怎麼不是“危機”呢？
不過，這裏有一個很重要的曆史背景，就是，為什麼這次危機不早不晚，正好在20世紀初即“羅素悖論”提出時就到來了呢？
它似乎是可以早些到來的，因為曆史上的數學悖論早已發現且不計其數。例如，古希臘時代歐布利德或古羅馬哲學家、政治家西塞羅（公元前106-前43）的“穀堆悖論”，德國哲學家黑格爾的“禿頭悖論”，意大利伽利略的“自然數等於完全平方數悖論”，德國數學家施瓦茲（1843-1921）在1880年提出的“施瓦茲悖論”。這些悖論沒有能引起“危機”的原因在於，數學家們對自己不夠自信，因為類似“悖論”這類問題，在數學中比比皆是，不值得一提。沒有引起“危機”的第二個原因在於，其中有的悖論已被“克服”，既已克服，便不存在“危機”。例如古希臘數學家芝諾（約公元前496-前429）提出的四個悖論——其一是眾所周知的古希臘神話中善跑的英雄阿基裏斯永遠追不上烏龜的悖論，在19世紀已經得到解決；有的則未能引起足夠的注意。因此在20世紀之前，這一“危機”沒有到來。
1874年，德國康托在《克列爾雜誌》上發表了《論所有實代數數集合的一個性質》的論文，它標誌著集合論的誕生。集合論的創立，顛倒了許多前人的想法，與傳統數學觀念相衝突，因此一開始就遭到反對者的指責。但在1897年第一次國際數學家大會在瑞士蘇黎世召開時，德國數學家赫爾維茨（1859-1919）和法國數學家阿達馬（1865-1963）就充分肯定了康托的理論在分析學中的重要地位，最終導致集合論被公認。此外，“皮亞諾算術公理係統”的出現，自然數理論被歸結為一組不加定義的概念和幾條有關的公理，算術理論公理化了。這樣，數學的基礎就放在集合論之上了。