這樣，在19世紀後半葉，數學家們開始陶醉了：數學基礎已牢固無比，數學的嚴密性已達到。不過，幾乎同時，一些事也使數學家們不那麼“陶醉”：1897年，意大利數學家布拉利·福蒂（1861-1931）提出了以他名字命名的悖論；1899年，康托也提出“最大基數悖論”和“最大序數悖論”。這些集合論中的悖論也沒有得到解決，一些人心中也產生了困惑。
然而，這些並沒能阻止人們的自信。1900年在巴黎召開的第二次國際數學家大會上，法國著名數學家、物理學家龐加萊（1854-1912）就宣稱：“現在，我們能說（數學）完全的嚴格性已經到來了。”接著便是前述“羅素悖論”和“第三次數學危機”的出現。
由此可見，“第三次數學危機”是在人們誤以為數學基礎已經牢固，因而盲目樂觀，但接著就遇到無法克服的“悖論”時思想準備不足而必然產生的。
不過，“第三次數學危機”的出現雖然使西方數學界、哲學界、邏輯界產生震驚，但並未使他們方寸大亂。因為人們已經有前兩次“危機”的曆史“經驗”。於是他們為消除這一危機進行了至今仍在繼續的努力。但在20世紀前30年是他們投入最多、辯論最激烈的時期，因而許多重大成果相繼產生。其中成果之一便是三大數學流派——邏輯主義、直覺主義、形式主義的誕生。
1931年，奧地利數學家哥德爾（1906-1972）發表了《論“數學原理”和有關體係的形式不可判定命題》的論文，給出了兩個“不完備定理”，這是“數學和邏輯基礎方麵偉大的劃時代的貢獻”。哥德爾第一定理推翻了數學的所有領域能被完全公理化這一強烈的信念；而第二定理則摧毀了沿著希爾伯特等人設想過的路線證明數學內部相容性的全部希望。從此，前述三大數學流派為克服“危機”、尋找可靠數學基礎的努力全部化為泡影！於是，數學家們再次陷入困惑，人們在困惑中沿著不完備定理這一指路明燈進入新一輪的思考和探索。
不完備定理表明，任何所謂嚴密形式體係都不是天衣無縫的，沒有哪個重要的部門能保證自己沒有內在矛盾，人的智慧源泉不能被完全公理化；新的證明原則等待我們去發現或發明，某些被認可的數學哲學應重新評價，其中有的會被更新或廢棄。這種認識論上的飛躍為我們開拓了廣闊的視野。
由“悖論”這一“怪圈”引出“危機”，探究克服“危機”完善了三大數學流派，摧毀這些流派的幻想出現哥德爾不完備定理，導致至今尚未完結的探索，這是發生在數學領域裏近一個世紀的事。那麼，這種“怪圈”僅僅在數學領域內才有嗎？
不是，這種“怪圈”普遍存在，在美術和音樂及其他領域都存在這種現象。
1979年，美國數學家道格拉斯·霍夫斯塔特寫了一本名為《GEB——一條永恒的金帶》的書。書名和內容一樣使人好奇，在美國轟動一時，曾獲普利策大獎。普利策獎是赴美匈牙利人普利策（1847-1911）創立的，以這位辦報人命名的獎雖然每份隻有1000美元獎金，但卻是新聞界的最高獎賞。上述書名中的“G”指數學家哥德爾（Godel），“E”指畫家默裏斯·戈羅奈裏維斯·埃舍爾（Escher），“B”則指“音樂之父”巴赫（Bach）。
那為什麼霍夫斯塔特會把數學家、畫家、音樂家綁在一起而使書名中有“GEB”呢？
該書認為，人的思維存在一個“怪圈”，這個“怪圈”會使人的思維在前進過程中不自覺地回到起點上去。正好我們前麵談到的哥德爾不完備定理，這個定理使我們麵臨二擇一的兩難境地：要麼在邏輯思維中可以是不一致的；要麼導致另一個結果，使我們無法用邏輯去證明所有看來是用邏輯提出的問題，這就是不可判定性。哥德爾不完備定理就是指出了數學中的這種“怪圈”。