電子計算機繪製的有關解析函數的迭代所形成的圖形由於解代數方程的需要，複數和複變函數產生了。複變函數可以看作古典分析從實數域到複數域的推廣，它使分析學的內容更加充實和完善。19世紀，柯西、黎曼和韋爾斯特拉斯為複變函數做了奠基性的工作。它被稱為抽象數學中最和諧的理論之一。複變函數在形成和發展過程中，一方麵使我們有可能去闡明那些推動分析、物理學部門發展的一係列特殊函數的性質，另一方麵它在微分方程、積分方程、幾何學、一般線性算子理論等數學部門中，以及流體力學、電動力學、傳熱理論和彈性力學中口益發揮重大作用。例如，俄國契可夫斯基（1847～1921）利用複變函數工具，解決了重要的機翼結構問題。
函數逼近論的發展
為了解決科學研究和工程技術中的實際計算問題，尋求複雜函數近似解決方法，函數逼近論日益發展起來。1885年，韋爾斯特拉斯證明了任何連續函數都可以表示為一致收斂的多項式的和。從此，人們就可以按照給定的精確度通過多項式來逼近它。此後，俄國數學家車比雪夫（1821～1891）又創立了函數的最佳逼近論，成為函數構造理論研究的開端。
偏數分方程的出現
18世紀，由於解決物理、工程方麵的有關問題而導致常微分方程的興起。在處理弦振動等複雜物理現象中，偏微分方程出現了。19世紀，由於偏微分方程在物理學中的應用，以及對發展函數論的變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等的促進作用而成為數學的中心。隨著天體運動、機械工作、電振動係統等穩定性問題的研究，1881年由法國數學家彭加勒（1854～1912）開創的微分方程定性理論發展起來了。第二年，俄國李雅普諾大建立了其穩定性理論。
近世代數
高等代數的基礎
方程論從最簡單的一元一次方程開始，一方麵向未知數的個數即方程的“元”發展，構成了n元一次方程組，從而產生了“行列式”和“矩陣”等概念，形成了線性方程組理論，奠定了“線性代數”的基礎。另一方麵向未單葉雙曲麵知數的次數發展，構成了一元n次方程，從而形成了“多項式代數”理論。這兩部分構成了今天“高等代數”課程的基本內容。代數研究的內容發展成“解方程的理論”。與此同時，方程組的解法問題、解析幾何中與高次代數流形問題相關聯的內容、行列式與矩陣理論、二次型與線形變換理論、不變量理論等等也發展起來了。19世紀後半葉，不變量理論成了代數研究的中心。
群論的誕生
自從三次方程和四次方程的求解問題解決後，五次方程又成了人們研究的重要課題。拉格朗日曾經證明五次方程的預解式是六次方程。1824年，挪威的阿貝爾用極巧妙的方法成功地證明了一般五次以上方程不能用根式求解。
為了尋求五項和五項以上方程的解法，巴黎科學院曾設立一項獎金。1829年，一個17歲的法國中學生伽羅華解決了這一數學難題。由於柯西的不重視而將伽羅華的論文遺失了。1832年，伽羅華在一次決鬥中結束了自己年輕的生命。14年後，經過數學家劉維爾的發現和推薦，伽羅華的成就才被人們所認識。伽羅華的傑出貢獻在於發現了一般方程根式求解的充要條件。對於一般n次方程都可以找到一個置換群的一部分與之對應，從而進一步找到了一般n次方程根式求解的充要條件是：號碼1、2、3…n的排列群滿足某些確定條件。1870年，法國數學家約當根據伽羅華的成就寫出了他的論著《置換與代數方程教程》，標誌著“群論”正式誕生。